Rezolvare BAC 2023 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (august) 2023 (Proba E.c) — 17.08.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₆ al progresiei aritmetice (aₙ), cu a₁ = 3 și a₅ = 23.

a₅ = a₁ + 4r, deci 4r = 20 și r = 5.
a₆ = a₅ + r = 28.
Răspuns
a₆ = 28

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 6x + 8. Determinați numărul real m, știind că punctul A(m, −1) aparține graficului funcției f.

f(m) = −1 ⇔ m² − 6m + 8 = −1 ⇔ m² − 6m + 9 = 0 ⇔ (m − 3)² = 0.
m = 3.
Răspuns
m = 3

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3²ˣ⁻¹ = 9·3ˣ⁺¹.

9·3ˣ⁺¹ = 3ˣ⁺³, deci 2x − 1 = x + 3 și x = 4.
Răspuns
x = 4

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii A, care au cel mult două elemente.

Submulțimi cu un element: C(5,1) = 5; cu două elemente: C(5,2) = 10. În total 15.
Răspuns
15

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1) și B(4,4). Determinați coordonatele punctului C, știind că OA = BC (vectori).

OA are coordonatele (3, 1), iar BC are (x_C − 4, y_C − 4).
x_C − 4 = 3 și y_C − 4 = 1, deci C(7, 5).
Răspuns
C(7,5)

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și înălțimea AD = 3. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu 2√3.

În triunghiul ADB, dreptunghic în D: BD = √(36 − 9) = 3√3.
Teorema catetei: AB² = BD·BC, deci BC = 363√3 = 4√3.
Ipotenuza e diametrul cercului circumscris: R = BC2 = 2√3.
Răspuns
R = 2√3

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = xxx1x1−1−x−1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 0.

A(1) = 111111−1−1−1: primele două linii sunt egale, deci det(A(1)) = 0.
Răspuns
0

b) (5p) Arătați că A(x)·A(y) − A(xy) = (x + y − 2)A(0), pentru orice numere reale x și y.

A(x)·A(y) − A(xy) = 000x+y−20x+y−2−x−y+20−x−y+2.
Aceasta e (x + y − 2)·000101−10−1 = (x + y − 2)A(0).
Răspuns
A(x)·A(y) − A(xy) = (x + y − 2)A(0)

c) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A(−1)·A(3)·A(x) = A(y).

Din b): A(−1)·A(3) = A(−3) + (−1 + 3 − 2)A(0) = A(−3).
A(−3)·A(x) = A(−3x) + (x − 5)A(0).
A(−3x) + (x − 5)A(0) = A(y): elementele de pe pozițiile unde A(0) are 1 cer x − 5 = 0, deci x = 5, iar apoi y = −3x = −15.
Răspuns
x = 5, y = −15

Se consideră polinomul f = X⁴ + 2X³ − 8X² + 3mX + m, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 2, arătați că f(1) = 3.

f = X⁴ + 2X³ − 8X² + 6X + 2, deci f(1) = 1 + 2 − 8 + 6 + 2 = 3.
Răspuns
f(1) = 3

b) (5p) Pentru m = 0, determinați rădăcinile polinomului f.

f = X⁴ + 2X³ − 8X² = X²(X² + 2X − 8) = X²(X + 4)(X − 2).
Rădăcinile: 0 (dublă), −4 și 2.
Răspuns
0 (dublă), −4, 2

c) (5p) Determinați numărul rațional m pentru care polinomul f are rădăcina x₁ = 1 + √3.

f are coeficienți raționali, deci și x₂ = 1 − √3 e rădăcină: x₁ + x₂ = 2, x₁x₂ = −2.
Din Viète: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −2, deci x₃ + x₄ = −4; suma produselor două câte două e −8: −2 + 2·(−4) + x₃x₄ = −8, deci x₃x₄ = 2.
m = x₁x₂x₃x₄ = (−2)·2 = −4 (verificare: suma produselor trei câte trei, −2·(−4) + 2·2 = 12 = −3m).
Răspuns
m = −4

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3eˣx² + x + 1.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3eˣ(x² − x)(x² + x + 1)², x∈R.

f'(x) = 3eˣ(x² + x + 1) − 3eˣ(2x + 1)(x² + x + 1)².
Numărătorul: 3eˣ(x² + x + 1 − 2x − 1) = 3eˣ(x² − x).
Răspuns
f'(x) = 3eˣ(x² − x)(x² + x + 1)²

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(2x)f(x) = +∞.

f(2x)f(x) = eˣ·(x² + x + 1)4x² + 2x + 1.
Raportul polinoamelor tinde la 14, iar eˣ → +∞, deci limita e +∞.
Răspuns
+∞

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m ∈ (e, 3).

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 1: f crește strict pe (−∞, 0), scade strict pe (0, 1) și crește strict pe (1, +∞).
limx→−∞ f(x) = 0, f(0) = 3, f(1) = e, limx→+∞ f(x) = +∞.
Pentru m ∈ (e, 3): pe (−∞, 0) f ia toate valorile din (0, 3), pe (0, 1) toate din (e, 3), iar pe (1, +∞) toate din (e, +∞) — câte o dată pe fiecare interval, deci exact trei soluții.
Răspuns
exact trei soluții

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 6x + ln(x + 1).

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] (f(x) − ln(x + 1)) dx = 9.

f(x) − ln(x + 1) = 6x.
∫[1,2] 6x dx = [3x²] de la 1 la 2 = 12 − 3 = 9.
Răspuns
9

b) (5p) Arătați că ∫[0,e−1] f(x) − 6xx + 1 dx = 12.

f(x) − 6xx + 1 = ln(x + 1)x + 1 = ln(x + 1)·(ln(x + 1))', cu primitiva ln²(x + 1)2.
Valoarea: ln²e2 − 0 = 12.
Răspuns
12

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(x²), axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 este egală cu aπ + ln2.

g(x) = 6x² + ln(x² + 1) ≥ 0 pe [0, 1], deci aria e ∫[0,1] (6x² + ln(x² + 1)) dx = 2 + ∫[0,1] ln(x² + 1) dx.
Prin părți: ∫[0,1] ln(x² + 1) dx = [x·ln(x² + 1)] de la 0 la 1 − ∫[0,1] 2x²x² + 1 dx = ln2 − [2x − 2arctg x] de la 0 la 1 = ln2 − 2 + π2.
Aria = π2 + ln2, deci a = 12.
Răspuns
a = 12

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →