Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (august) 2023 (Proba E.c) — 17.08.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 1,5 + 3·(1 − 0,5) = 3.

1,5 + 3·0,5 = 1,5 + 1,5 = 3.
Răspuns
3

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 5 − x. Arătați că f(0) − f(1) = 1.

f(0) = 5 și f(1) = 4, deci f(0) − f(1) = 1.
Răspuns
1

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(3x − 8) = 1.

3x − 8 = 1, deci x = 3.
Verificare: √1 = 1, deci x = 3 convine.
Răspuns
x = 3

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 9}, acesta să verifice inegalitatea 2n ≥ 9.

2n ≥ 9 ⇔ n ≥ 4,5: numerele 5, 7 și 9, deci p = 35.
Răspuns
p = 35

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0), B(1,2) și C(4,1). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

AC = √(3² + 1²) = √10 și BC = √(3² + 1²) = √10.
AC = BC, deci triunghiul ABC e isoscel.
Răspuns
AC = BC = √10

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu aria egală cu 50 și AC = 5. Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 20.

Aria = AB·AC2 = 5·AB2 = 50, deci AB = 20.
Răspuns
AB = 20

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x1−x2−x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 11−11, deci det(A(1)) = 11−11 = 1 + 1 = 2.
Răspuns
2

b) (5p) Arătați că 3A(2) + A(6) = 4A(3).

3A(2) + A(6) = 63−60 + 61−6−4 = 124−12−4 = 4·31−3−1 = 4A(3).
Răspuns
3A(2) + A(6) = 4A(3)

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x) = 2A(x).

A(x)·A(x) = x²−x2−2xx²−5x+4, iar 2A(x) = 2x2−2x4−2x.
x² − x = 2x și x² − 5x + 4 = 4 − 2x dau amândouă x² − 3x = 0, deci x = 0 sau x = 3.
Răspuns
x = 0 sau x = 3

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy + 2x − y − 1.

a) (5p) Arătați că 1∗1 = 1.

1∗1 = 1 + 2 − 1 − 1 = 1.
Răspuns
1

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗2 = x.

x∗2 = 2x + 2x − 2 − 1 = 4x − 3.
4x − 3 = x, deci x = 1.
Răspuns
x = 1

c) (5p) Arătați că (1 − x)∗x ≤ 2, pentru orice număr real x.

(1 − x)∗x = (1 − x)x + 2(1 − x) − x − 1 = −x² − 2x + 1.
−x² − 2x + 1 = −(x + 1)² + 2 ≤ 2.
Răspuns
(1 − x)∗x ≤ 2

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 2eˣ − 1.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(eˣ − 1)eˣ, x∈R.

f(x) = 2x + 2e⁻ˣ − 1, deci f'(x) = 2 − 2e⁻ˣ = 2 − 2eˣ.
La numitor comun: f'(x) = 2eˣ − 2eˣ = 2(eˣ − 1)eˣ.
Răspuns
f'(x) = 2(eˣ − 1)eˣ

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 0 + 2 − 1 = 1 și f'(0) = 0.
Tangenta: y − 1 = 0·x, adică y = 1.
Răspuns
y = 1

c) (5p) Determinați numerele reale m și n, știind că dreapta d de ecuație y = mx + n este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ (2 + 2x·eˣ − 1x) = 2.
n = limx→+∞ (f(x) − 2x) = limx→+∞ (2eˣ − 1) = −1.
Răspuns
m = 2, n = −1

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x³ + 3x.

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] (f(x) − 3x) dx = 15.

f(x) − 3x = 4x³.
∫[1,2] 4x³ dx = [x⁴] de la 1 la 2 = 16 − 1 = 15.
Răspuns
15

b) (5p) Arătați că ∫[2,5] 1f(x) − 4x³ + 3 dx = (13)·ln2.

f(x) − 4x³ + 3 = 3x + 3 = 3(x + 1).
∫[2,5] 13(x + 1) dx = (13)(ln6 − ln3) = (13)·ln2.
Răspuns
(13)·ln2

c) (5p) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g:[1,2]→R, g(x) = x³ + f(x)x este egal cu 2πf(3).

g(x) = 5x³ + 3xx = 5x² + 3.
V = π∫[1,2] (5x² + 3)² dx = π[5x⁵ + 10x³ + 9x] de la 1 la 2 = π(258 − 24) = 234π.
f(3) = 108 + 9 = 117, deci V = 234π = 2πf(3).
Răspuns
V = 234π = 2πf(3)