Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (iunie–iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (iunie–iulie) 2023 (Proba E.c) — 27.06.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 3·(1 + 12) − 12 = 4.

3·(32) − 12 = 92 − 12 = 4.
Răspuns
4

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 6.

a + 2 = 6, deci a = 4.
Răspuns
a = 4

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₇(2x + 1) = log₇9.

2x + 1 = 9, deci x = 4.
Pentru x = 4 argumentul e 9 > 0, deci x = 4 convine.
Răspuns
x = 4

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 23}, acesta să verifice inegalitatea n ≥ 10.

A are 23 de elemente.
n ≥ 10: numerele 10, …, 23, adică 14; p = 1423.
Răspuns
p = 1423

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,2) și B(1,6). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB.

x_M = −1 + 12 = 0 și y_M = 2 + 62 = 4.
Răspuns
M(0,4)

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = √2 și BC = 2. Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

AB = √(BC² − AC²) = √(4 − 2) = √2.
AB = AC, deci triunghiul e isoscel.
Răspuns
AB = AC = √2

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 3221, B = 0442 și C = −1221.

a) (5p) Arătați că detA = −1.

detA = 3221 = 3 − 4 = −1.
Răspuns
−1

b) (5p) Arătați că 2B − A = 3C.

2B − A = 0884 − 3221 = −3663 = 3C.
Răspuns
2B − A = 3C

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care 2X·A = B + 2C.

B + 2C = −2884, iar A⁻¹ = −122−3 (detA = −1).
X = (12)(B + 2C)·A⁻¹ = (12)·18−2804 = 9−1402.
Răspuns
X = 9−1402

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = (x − 4)(y − 4) + 4.

a) (5p) Arătați că 5∗4 = 4.

5∗4 = 1·0 + 4 = 4.
Răspuns
4

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗6 = 6x.

x∗6 = 2(x − 4) + 4 = 2x − 4.
2x − 4 = 6x, deci x = −1.
Răspuns
x = −1

c) (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care (4n)∗n > 4.

(4n)∗n > 4 ⇔ (4n − 4)(n − 4) > 0 ⇔ (1n − 1)(n − 4) > 0.
Pentru n = 1 produsul e 0; pentru n ≥ 2, 1n − 1 < 0, deci trebuie n − 4 < 0: n = 2 sau n = 3.
Răspuns
n ∈ {2, 3}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + 6x² − 15x + 9.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3(x² + 4x − 5), x∈R.

f'(x) = 3x² + 12x − 15 = 3(x² + 4x − 5).
Răspuns
f'(x) = 3(x² + 4x − 5)

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = −5 sau x = 1.
f' ≥ 0 pe (−∞, −5] și pe [1, +∞), f' ≤ 0 pe [−5, 1].
Răspuns
crescătoare pe (−∞, −5] și [1, +∞), descrescătoare pe [−5, 1]

c) (5p) Arătați că limx→+∞ f'(x)eˣ·f''(x) = 0.

f''(x) = 3(2x + 4), deci f'(x)eˣ·f''(x) = x² + 4x − 5eˣ(2x + 4).
eˣ crește mai repede decât orice polinom, deci raportul tinde la 0 (sau, cu l'Hôpital de două ori: 2x + 4eˣ(2x + 6) → 2eˣ(2x + 8) → 0).
Răspuns
0

Se consideră funcția f:(−9,+∞)→R, f(x) = 8xx + 9.

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] (x + 9)·f(x) dx = 4.

(x + 9)·f(x) = 8x.
∫[0,1] 8x dx = [4x²] de la 0 la 1 = 4.
Răspuns
4

b) (5p) Arătați că ∫[1,6] (18x)·f(x) dx = ln(32).

(18x)·f(x) = 1x + 9.
∫[1,6] 1x + 9 dx = ln15 − ln10 = ln(32).
Răspuns
ln(32)

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care ∫[0,3] f(x²) dx = 6(4 + aπ).

f(x²) = 8x²x² + 9 = 8(1 − 9x² + 9).
∫[0,3] f(x²) dx = [8x − 8·(93)·arctg(x3)] de la 0 la 3 = 24 − 24·(π4) = 24 − 6π.
24 − 6π = 6(4 + aπ), deci a = −1.
Răspuns
a = −1