Rezolvare BAC 2023 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (iunie–iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (iunie–iulie) 2023 (Proba E.c) — 27.06.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √25 + √64 − √169 = 0.

5 + 8 − 13 = 0.
Răspuns
0

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 2x + 2 și g:R→R, g(x) = x² + 2. Determinați numerele naturale n pentru care f(n) ≥ g(n).

2n + 2 ≥ n² + 2 ⇔ n² ≤ 2n ⇔ n(n − 2) ≤ 0.
Pentru n natural: n ∈ {0, 1, 2}.
Răspuns
n ∈ {0, 1, 2}

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 + log₃(2x − 1) = log₃27.

log₃27 = 3, deci log₃(2x − 1) = 1 și 2x − 1 = 3.
x = 2, care convine (2x − 1 = 3 > 0).
Răspuns
x = 2

4. (5p) Prețul unui obiect este de 150 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 20%.

După prima scumpire: 150 + 30 = 180 de lei.
După a doua: 180 + 36 = 216 lei.
Răspuns
216 lei

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,4) și M(3,6). Determinați coordonatele punctului B, știind că punctul M este mijlocul segmentului AB.

0 + x_B2 = 3 și 4 + y_B2 = 6, deci x_B = 6 și y_B = 8.
Răspuns
B(6,8)

6. (5p) Arătați că (√32)·sin60° − (1√3)·cos30°·cos60° = 12.

sin60° = cos30° = √32, cos60° = 12.
(√32)(√32) − (1√3)(√32)(12) = 34 − 14 = 12.
Răspuns
12

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y − 4.

1. (5p) Arătați că 2∗(−2) = −4.

2∗(−2) = 2 − 2 − 4 = −4.
Răspuns
−4

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este asociativă.

(x∗y)∗z = (x + y − 4) + z − 4 = x + y + z − 8.
x∗(y∗z) = x + (y + z − 4) − 4 = x + y + z − 8, deci (x∗y)∗z = x∗(y∗z).
Răspuns
legea e asociativă

3. (5p) Arătați că 1∗2∗3∗4∗5∗6 > 0.

Din punctul 2, x∗y∗z = x + y + z − 8: 1∗2∗3 = −2 și 4∗5∗6 = 7.
(−2)∗7 = −2 + 7 − 4 = 1 > 0.
Răspuns
1 > 0

4. (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗x∗x = (x + 1)∗x.

x∗x∗x = 3x − 8 și (x + 1)∗x = 2x − 3.
3x − 8 = 2x − 3, deci x = 5.
Răspuns
x = 5

5. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ∗2ˣ = 2.

4ˣ + 2ˣ − 4 = 2; cu t = 2ˣ > 0: t² + t − 6 = 0, deci (t − 2)(t + 3) = 0.
t = 2 (t = −3 nu convine), deci 2ˣ = 2 și x = 1.
Răspuns
x = 1

6. (5p) Arătați că x²∗(1x²) ≥ −2, pentru orice număr real nenul x.

x²∗(1x²) = x² + 1x² − 4.
x² + 1x² − 2 = (x − 1x)² ≥ 0, deci x² + 1x² − 4 ≥ −2.
Răspuns
x²∗(1x²) ≥ −2

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 101−1, B = 120−1, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.

1. (5p) Arătați că detA = −1.

detA = 101−1 = −1 − 0 = −1.
Răspuns
−1

2. (5p) Arătați că A·A − B·B = O₂.

A·A = 1001 și B·B = 1001, deci A·A − B·B = O₂.
Răspuns
A·A − B·B = O₂

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care det(A·A − xI₂) = 0.

A·A = I₂, deci A·A − xI₂ = (1 − x)I₂, cu determinantul (1 − x)².
(1 − x)² = 0, deci x = 1.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Determinați numărul real x pentru care A − B − xI₂ = −2−21−2.

A − B − xI₂ = −x−21−x.
Egalând cu matricea dată: −x = −2, deci x = 2.
Răspuns
x = 2

5. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(a(A + B)) = −6.

a(A + B) = 2a2aa−2a, cu determinantul −4a² − 2a² = −6a².
−6a² = −6, deci a = −1 sau a = 1.
Răspuns
a = −1 sau a = 1

6. (5p) Rezolvați în M₂(R) ecuația A·X = B.

A·A = I₂, deci A⁻¹ = A; înmulțind la stânga cu A: X = A·B.
X = 101−1·120−1 = 1213.
Răspuns
X = 1213