Rezolvare BAC 2023 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (august) 2023 (Proba E.c) — 17.08.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √50 − 5(√2 − 1) = 5.

√50 = 5√2, deci 5√2 − 5√2 + 5 = 5.
Răspuns
5

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3x + a, unde a este număr real. Arătați că f(1) = f(2), pentru orice număr real a.

f(1) = 1 − 3 + a = a − 2 și f(2) = 4 − 6 + a = a − 2.
Răspuns
f(1) = f(2) = a − 2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x + 2) = log₃(4 − x).

x + 2 = 4 − x, deci x = 1.
Pentru x = 1 argumentele sunt 3 și 3, pozitive, deci x = 1 convine.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8.

Sunt 90 de numere de două cifre.
Produsul cifrelor 8: 18, 81, 24, 42, adică 4 numere; p = 490 = 245.
Răspuns
p = 245

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,a), B(1,0) și C(5,2), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul A este mijlocul segmentului BC.

Mijlocul lui BC are ordonata 0 + 22 = 1 (și abscisa 1 + 52 = 3), deci a = 1.
Răspuns
a = 1

6. (5p) Arătați că sin30° + √2·cos45° + cos60° = 2.

12 + √2·(√22) + 12 = 12 + 1 + 12 = 2.
Răspuns
2

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = 3(4 − x − y) + xy.

1. (5p) Arătați că 3∗0 = 3.

3∗0 = 3(4 − 3 − 0) + 0 = 3.
Răspuns
3

2. (5p) Demonstrați că x∗y = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

(x − 3)(y − 3) + 3 = xy − 3x − 3y + 9 + 3 = 3(4 − x − y) + xy = x∗y.
Răspuns
x∗y = (x − 3)(y − 3) + 3

3. (5p) Arătați că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗4 = (x − 3)·1 + 3 = x și 4∗x = 1·(x − 3) + 3 = x, pentru orice x real.
Răspuns
e = 4

4. (5p) Arătați că 73 este simetricul lui 32 în raport cu legea de compoziție „∗”.

(73)∗(32) = (73 − 3)(32 − 3) + 3 = (−23)(−32) + 3 = 1 + 3 = 4 = e.
Legea e comutativă, deci și (32)∗(73) = 4: 73 e simetricul lui 32.
Răspuns
(73)∗(32) = 4 = e

5. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9ˣ∗3ˣ = 3.

9ˣ∗3ˣ = (9ˣ − 3)(3ˣ − 3) + 3 = 3 ⇔ (9ˣ − 3)(3ˣ − 3) = 0.
9ˣ = 3 dă 3²ˣ = 3, deci x = 12; 3ˣ = 3 dă x = 1.
Răspuns
x = 12 sau x = 1

6. (5p) Calculați 3∗4∗5∗…∗2023.

3∗x = 0·(x − 3) + 3 = 3, pentru orice x real.
Legea e asociativă: 3∗(4∗5∗…∗2023) = 3.
Răspuns
3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = −1221, I₂ = 1001 și B(a) = a+211a, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(B(0)) = −1.

B(0) = 2110, deci det(B(0)) = 2110 = 0 − 1 = −1.
Răspuns
−1

2. (5p) Arătați că A·A = 5I₂.

A·A = 1+4−2+2−2+24+1 = 5005 = 5I₂.
Răspuns
A·A = 5I₂

3. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(B(a) + A) = 0.

B(a) + A = a+133a+1, cu determinantul (a + 1)² − 9.
(a + 1)² = 9, deci a + 1 = ±3: a = 2 sau a = −4.
Răspuns
a = 2 sau a = −4

4. (5p) Determinați numărul real a pentru care B(a)·B(−2) = B(0) − I₂.

B(−2) = 011−2, deci B(a)·B(−2) = 1aa1−2a.
B(0) − I₂ = 111−1, deci a = 1 (și 1 − 2a = −1 se verifică).
Răspuns
a = 1

5. (5p) Demonstrați că matricea B(a − 1) este inversabilă, pentru orice număr rațional a.

det(B(a − 1)) = (a + 1)(a − 1) − 1 = a² − 2.
a² = 2 ar cere a = ±√2, care nu e rațional; deci pentru a rațional determinantul e nenul și matricea e inversabilă.
Răspuns
det(B(a − 1)) = a² − 2 ≠ 0

6. (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R), știind că X·B(0) = A.

det(B(0)) = −1, deci (B(0))⁻¹ = 011−2.
X = A·(B(0))⁻¹ = −1221·011−2 = 2−510.
Răspuns
X = 2−510