Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2021 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2021 la Matematică: examenul oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Examen iunie 2021): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Dintre numerele 15, 17, 25 și 30, numărul divizibil cu 10 este:

  1. A. 15
  2. B. 17
  3. C. 25
  4. D. 30
Vezi rezolvarea
  • Un număr natural este divizibil cu 10 dacă ultima lui cifră este 0. Singurul număr dintre cele date care se termină în 0 este 30.

  • Răspuns

    D. 30

2. (5p) Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț al obiectului este egal cu:

  1. A. 10 lei
  2. B. 90 de lei
  3. C. 100 de lei
  4. D. 110 lei
Vezi rezolvarea
  • Scumpirea este 10% din 100 de lei, adică (10100)·100=10 lei. Noul preț este 100+10=110 lei.

  • Răspuns

    D. 110 lei

3. (5p) Temperaturile aerului măsurate de Maria, într-o zi, la ora 8:00 și la ora 12:00, sunt înregistrate în tabelul următor: ora 8:00 — temperatura −3° C; ora 12:00 — temperatura 5° C. Conform informațiilor din tabel, temperatura măsurată la ora 12:00 este mai mare decât temperatura măsurată la ora 8:00 cu:

  1. A. −2° C
  2. B. −8° C
  3. C. 2° C
  4. D. 8° C
Vezi rezolvarea
  • Diferența dintre temperaturi este 5−(−3)=5+3=8, deci la ora 12:00 temperatura este mai mare cu 8° C.

  • Răspuns

    D. 8° C

4. (5p) Fracția subunitară din mulțimea A={4410, 54, 45, 4} este:

  1. A. 4
  2. B. 45
  3. C. 54
  4. D. 4410
Vezi rezolvarea
  • O fracție este subunitară când numărătorul este mai mic decât numitorul. Dintre elementele mulțimii, doar 45 are numărătorul (4) mai mic decât numitorul (5); 4410, 54 și 4 sunt mai mari decât 1.

  • Răspuns

    B. 45

5. (5p) Rezultatul calculului 2√2 − 6√2 + 3√2 este egal cu:

  1. A. −√2
  2. B. −√6
  3. C. −4√2
  4. D. 11√2
Vezi rezolvarea
  • Scoatem factor comun √2: (2−6+3)·√2=(−1)·√2=−√2.

  • Răspuns

    A. −√2

6. (5p) Bunica lui Andrei are în curte 10 găini și de două ori mai multe rațe. Andrei afirmă că: „Bunica are în curte 10 găini și 20 de rațe.”. Afirmația lui Andrei este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • De două ori mai multe rațe decât găini înseamnă 2·10=20 de rațe. Afirmația lui Andrei este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte A, B, C și D. Punctul B este mijlocul segmentului AC și punctul C este mijlocul segmentului AD. Valoarea raportului BDAB este egală cu:

A B C D
  1. A. 0,50
  2. B. 0,75
  3. C. 2
  4. D. 3
Vezi rezolvarea
  • Notăm AB=x. Cum B este mijlocul lui AC, BC=x și AC=2x. Cum C este mijlocul lui AD, CD=AC=2x. Atunci BD=BC+CD=x+2x=3x, deci BDAB=3xx=3.

  • Răspuns

    D. 3

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile AOB și BOC, adiacente suplementare, semidreapta OD este bisectoarea unghiului AOB și măsura unghiului BOC este de 40°. Măsura unghiului BOD este egală cu:

O A C B D
  1. A. 30°
  2. B. 40°
  3. C. 60°
  4. D. 70°
Vezi rezolvarea
  • Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente suplementare, deci ∠AOB=180°−40°=140°. OD este bisectoarea unghiului AOB, deci ∠BOD=140°:2=70°.

  • Răspuns

    D. 70°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB=4 cm și AC=6 cm. Punctul M este mijlocul laturii AC. Lungimea segmentului BM este egală cu:

A B C M
  1. A. 3 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 5 cm
  4. D. 6 cm
Vezi rezolvarea
  • M este mijlocul lui AC, deci AM=6:2=3 cm. Triunghiul ABM este dreptunghic în A, iar din teorema lui Pitagora BM=√AB²+AM²=√16+9=√25=5 cm.

  • Răspuns

    C. 5 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB=6 cm și BC=3 cm. Bisectoarea unghiului BAD intersectează latura DC în punctul P. Măsura unghiului APB este egală cu:

A B C D P
  1. A. 45°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 135°
Vezi rezolvarea
  • AP este bisectoarea unghiului drept BAD, deci ∠DAP=45° și triunghiul ADP este dreptunghic isoscel: DP=AD=3 cm, iar ∠APD=45°. Atunci PC=6−3=3 cm=BC, deci și triunghiul PCB este dreptunghic isoscel, cu ∠BPC=45°. Rezultă ∠APB=180°−45°−45°=90°.

  • Răspuns

    C. 90°

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 2 cm, unde AB și CD sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul C la dreapta AD este egală cu:

O A B C D
  1. A. 2 cm
  2. B. 2√2 cm
  3. C. 2√3 cm
  4. D. 4 cm
Vezi rezolvarea
  • CD este diametru, deci unghiul înscris CAD este drept: CA⊥AD, iar distanța de la C la dreapta AD este CA. În triunghiul dreptunghic AOC (OA⊥OC), CA=√OA²+OC²=√4+4=2√2 cm.

  • Răspuns

    B. 2√2 cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD, cu baza ABCD și VA=AB=4 cm. Aria laterală a piramidei VABCD este egală cu:

V A B C D
  1. A. 16 cm²
  2. B. 16√2 cm²
  3. C. 16√3 cm²
  4. D. 32 cm²
Vezi rezolvarea
  • Muchiile laterale sunt egale cu latura bazei, deci fețele laterale sunt 4 triunghiuri echilaterale cu latura 4 cm. Aria unei fețe este 4²·√34=4√3 cm², iar aria laterală este 4·4√3=16√3 cm².

  • Răspuns

    C. 16√3 cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu 6 km mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi 50% din distanța parcursă în primele două zile.

a) (2p) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte 50% din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.
  • Dacă în primele două zile turistul ar parcurge 50% din traseu, atunci în a treia zi ar parcurge 50% din 50% din traseu, adică 25% din traseu. În total ar parcurge 50%+25%=75% din traseu, nu tot traseul. Deci nu este posibil ca distanța parcursă în primele două zile să reprezinte 50% din lungimea traseului.

b) (3p) Știind că turistul a parcurs în a treia zi 9 km, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.
  • Cei 9 km din a treia zi reprezintă 50% din distanța din primele două zile, deci în primele două zile turistul a parcurs 2·9=18 km. Notăm cu x distanța din prima zi; în a doua zi a parcurs x−6 km. Atunci x+(x−6)=18, adică 2x=24, de unde x=12. În prima zi turistul a parcurs 12 km.

2. Se consideră expresia E(x)=(2x−1)² − (2x−4)(x+2) + (x+3)², unde x este număr real.

a) (2p) Arată că E(x)=3x²+2x+18, pentru orice număr real x.
  • (2x−1)²=4x²−4x+1, (2x−4)(x+2)=2x²+4x−4x−8=2x²−8 și (x+3)²=x²+6x+9. Atunci E(x)=4x²−4x+1−(2x²−8)+x²+6x+9=4x²−4x+1−2x²+8+x²+6x+9=3x²+2x+18, pentru orice număr real x.

b) (3p) Demonstrează că numărul natural A=E(n)+n este multiplu de 6, pentru orice număr natural n.
  • A=3n²+2n+18+n=3n²+3n+18=3(n²+n+6). Dar n²+n+6=n(n+1)+6, iar n(n+1) este produsul a două numere naturale consecutive, deci este par; atunci n(n+1)+6 este par. Rezultă că A=3·(număr par), deci A este multiplu de 6, pentru orice număr natural n.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x−2.

O x y

a) (2p) Arată că f(3)−f(−3)=6.
  • f(3)=3−2=1 și f(−3)=−3−2=−5, deci f(3)−f(−3)=1−(−5)=6.

b) (3p) În sistemul de axe ortogonale xOy, determină distanța de la punctul C(−2,0) la reprezentarea grafică a funcției f.
  • Graficul lui f intersectează axa Ox în A(2,0) (din x−2=0) și axa Oy în B(0,−2) (f(0)=−2). Punctele C și A sunt pe Ox, deci AC=2−(−2)=4, iar înălțimea din B pe AC este OB=2. Aria triunghiului ABC este AC·OB2=4·22=4. Pe de altă parte, AB=√2²+2²=2√2, iar aria este și d(C,AB)·AB2. Atunci d(C,AB)=2·42√2=4√2=2√2. Distanța de la C la graficul funcției este 2√2.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB=3 cm și înălțimea AD, unde punctul D se află pe latura BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM=1 cm. Paralela prin punctul M la dreapta AC intersectează dreapta AD în punctul Q și dreapta BC în punctul P.

B C A D P M Q

a) (2p) Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm.
  • MP∥AC, deci ∠BMP=∠BAC=60° și ∠BPM=∠BCA=60°; cum și ∠B=60°, triunghiul BMP este echilateral. BM=AB−AM=3−1=2 cm, deci perimetrul triunghiului BMP este 3·BM=3·2=6 cm.

b) (3p) Determină lungimea segmentului PQ.
  • În triunghiul echilateral ABC, înălțimea AD este și mediană, deci BD=3:2=1,5 cm. Din triunghiul echilateral BMP, BP=BM=2 cm, deci DP=BP−BD=2−1,5=0,5 cm. Triunghiul DPQ este dreptunghic în D (AD⊥BC), cu ∠QPD=60°, deci ∠PQD=30°. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: PQ=2·DP=2·0,5=1 cm.

5. Se consideră trapezul isoscel ABCD, cu AB∥CD, măsura unghiului ADC este egală cu 120° și AD=DC=6 cm. Dreapta MP este mediatoarea segmentului BC, unde punctul M aparține dreptei AB și punctul P aparține dreptei BC.

A B C D M P

a) (2p) Arată că AB=12 cm.
  • Cum AB∥CD, ∠DAB=180°−120°=60°. Fie DE⊥AB și CF⊥AB, cu E, F∈AB. În triunghiul dreptunghic AED, ∠ADE=30°, deci AE=AD2=3 cm; analog (trapezul fiind isoscel), BF=3 cm. DCFE este dreptunghi, deci EF=DC=6 cm. Atunci AB=AE+EF+FB=3+6+3=12 cm.

b) (3p) Demonstrează că dreptele DM și MP sunt perpendiculare.
  • M se află pe mediatoarea lui BC, deci MB=MC; cum ∠MBC=∠ABC=60°, triunghiul MBC este echilateral, deci MB=BC=6 cm, iar MP (mediatoare, deci și bisectoare) dă ∠BMP=30°. Atunci AM=12−6=6 cm=AD și ∠DAM=60°, deci triunghiul AMD este echilateral și ∠AMD=60°. Rezultă ∠DMP=180°−(60°+30°)=90°, adică DM⊥MP.

6. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D', cu AB=6√2 cm.

A B C D A' B' C' D' O

a) (2p) Arată că volumul cubului ABCDA'B'C'D' este egal cu 432√2 cm³.
  • V=AB³=(6√2)³=6³·(√2)³=216·2√2=432√2 cm³.

b) (3p) Determină distanța de la punctul O la planul (BDD'), unde O este punctul de intersecție a dreptelor AD' și A'D.
  • Fie {Q}=AC∩BD și M mijlocul segmentului D'Q. O este mijlocul lui AD' (diagonalele pătratului ADD'A' se înjumătățesc), deci OM este linie mijlocie în triunghiul AD'Q: OM∥AQ și OM=AQ2. Diagonalele pătratului ABCD sunt perpendiculare, deci AQ⊥BD; iar DD'⊥(ABC), deci AQ⊥DD'. Cum BD și DD' sunt concurente în D, AQ⊥(BDD'), deci și OM⊥(BDD') și d(O,(BDD'))=OM. AC=AB·√2=6√2·√2=12 cm, AQ=6 cm, deci OM=6:2=3 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →