Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2025 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2025 la Matematică: modelul M.E.N.

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Model M.E.N. 2025): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului (40+2·5):5 este:

  1. A. 6
  2. B. 10
  3. C. 38
  4. D. 42
Vezi rezolvarea
  • Întâi înmulțirea din paranteză: 2·5=10, apoi 40+10=50 și 50:5=10.

  • Răspuns

    B. 10

2. (5p) Dacă x9=23, atunci numărul x este egal cu:

  1. A. 16
  2. B. 2
  3. C. 6
  4. D. 272
Vezi rezolvarea
  • Din proporție: 3·x=9·2=18, deci x=18:3=6.

  • Răspuns

    C. 6

3. (5p) Se consideră mulțimile A={0,1,2,3,4,5} și B={2,4,6,8}. Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea:

  1. A. {0,1,2,3,4,5,6,8}
  2. B. {0,1,3,5}
  3. C. {1,2,3,4,5,6,8}
  4. D. {2,4}
Vezi rezolvarea
  • Reuniunea conține toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi, fiecare o singură dată: A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8}. ({2,4} este intersecția, iar {0,1,3,5} este A−B.)

  • Răspuns

    A. {0,1,2,3,4,5,6,8}

4. (5p) Scrierea sub formă de fracție zecimală a fracției 56 este:

  1. A. 0,(83)
  2. B. 0,8
  3. C. 0,8(3)
  4. D. 0,83
Vezi rezolvarea
  • Împărțind 5 la 6 obținem 0,8333…: după cifra 8 se repetă la nesfârșit cifra 3, deci 56=0,8(3), fracție zecimală periodică mixtă.

  • Răspuns

    C. 0,8(3)

5. (5p) Patru elevi, Alina, Bogdan, Corina și Dan, au calculat media aritmetică a numerelor a=√3²+4² și b=45. Răspunsurile lor sunt: Alina — 15, Bogdan — 25, Corina — 26, Dan — 50. Rezultatul corect a fost obținut de către:

  1. A. Alina
  2. B. Bogdan
  3. C. Corina
  4. D. Dan
Vezi rezolvarea
  • a=√9+16=√25=5. Media aritmetică este 5+452=502=25, deci rezultatul corect l-a obținut Bogdan.

  • Răspuns

    B. Bogdan

6. (5p) Se consideră numărul real a=11−5√5. Enunțul „Numărul real a este pozitiv.” este:

  1. A. adevărat
  2. B. fals
Vezi rezolvarea
  • Comparăm 11 cu 5√5: 11=√121 și 5√5=√25·5=√125. Cum 121 < 125, avem 11 < 5√5, deci a=11−5√5 < 0. Numărul este negativ, enunțul este fals.

  • Răspuns

    B. fals

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AC=2·AB și AD=2·AC. Punctul M este mijlocul segmentului AB și AM=2 cm. Lungimea segmentului MD este egală cu:

A M B C D
  1. A. 4 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 14 cm
  4. D. 16 cm
Vezi rezolvarea
  • M este mijlocul lui AB, deci AB=2·AM=4 cm. Atunci AC=2·4=8 cm și AD=2·8=16 cm. Rezultă MD=AD−AM=16−2=14 cm.

  • Răspuns

    C. 14 cm

2. (5p) În figura alăturată punctele A, O și D sunt coliniare, unghiul BOC este drept, iar măsura unghiului AOC este egală cu 30°. Măsura unghiului BOD este egală cu:

A O D C B
  1. A. 120°
  2. B. 130°
  3. C. 150°
  4. D. 180°
Vezi rezolvarea
  • Semidreptele OC și OB sunt de o parte și de alta a dreptei AD, iar ∠AOB=∠BOC−∠AOC=90°−30°=60°. Unghiurile AOB și BOD sunt adiacente suplementare (A, O, D coliniare), deci ∠BOD=180°−60°=120°.

  • Răspuns

    A. 120°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu măsura unghiului ACB egală cu 60°. Semidreapta CM este bisectoarea unghiului ACB și CM=8 cm. Lungimea laturii AB este egală cu:

A B C M
  1. A. 4√3 cm
  2. B. 8 cm
  3. C. 8√3 cm
  4. D. 12 cm
Vezi rezolvarea
  • Bisectoarea dă ∠ACM=30°. În triunghiul dreptunghic ACM, AM este opusă unghiului de 30°, deci AM=CM2=4 cm și AC=√64−16=√48=4√3 cm. În triunghiul ABC, ∠B=30°, deci BC=2·AC=8√3 cm și AB=√192−48=√144=12 cm.

  • Răspuns

    D. 12 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat patrulaterul ABCD. Triunghiurile ADC și ABC sunt dreptunghice isoscele, cu AD=CD și AC=BC. Aria triunghiului ABC este egală cu 288 cm². Aria triunghiului ADC este egală cu:

A B C D
  1. A. 72 cm²
  2. B. 144 cm²
  3. C. 288 cm²
  4. D. 576 cm²
Vezi rezolvarea
  • Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel în C, deci aria lui este AC²2=288, de unde AC²=576 și AC=24 cm. În triunghiul ADC, dreptunghic isoscel în D: AD²+CD²=AC², adică 2·AD²=576, AD²=288, iar aria este AD·CD2=AD²2=144 cm².

  • Răspuns

    B. 144 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, punctul O aparține segmentului AB și dreptele AB și CD sunt paralele. Dacă măsura arcului mic BD este egală cu 40°, atunci măsura unghiului COD este egală cu:

A B C D O
  1. A. 40°
  2. B. 60°
  3. C. 80°
  4. D. 100°
Vezi rezolvarea
  • AB este diametru. Coardele paralele AB și CD determină arce egale între ele: arcul AC = arcul BD = 40°. Semicercul pe care se află C și D are 180°, deci arcul CD=180°−40°−40°=100°. Unghiul la centru COD are măsura arcului cuprins: ∠COD=100°.

  • Răspuns

    D. 100°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCD. Dacă AB=4 cm, atunci aria totală a tetraedrului ABCD este egală cu:

A B C D
  1. A. 4√3 cm²
  2. B. 8√3 cm²
  3. C. 16√3 cm²
  4. D. 24 cm²
Vezi rezolvarea
  • Tetraedrul regulat are 4 fețe triunghiuri echilaterale cu latura 4 cm. Aria unei fețe este l²√34=16√34=4√3 cm², deci aria totală este 4·4√3=16√3 cm².

  • Răspuns

    C. 16√3 cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. O echipă de muncitori a construit o pistă pentru biciclete în 3 zile. În prima zi a construit 30% din lungimea pistei, în a doua zi 60% din ce a rămas și în ultima zi cu 7 km mai puțin decât în a doua zi.

a) (2p) Verifică dacă în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu x lungimea pistei. În prima zi s-au construit (30100)·x. A rămas (70100)·x, iar în a doua zi s-au construit (60100)·(70100)·x=(42100)·x. Cum 42x100 > 30x100, în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi.

b) (3p) Determină lungimea pistei construite de echipă în cele trei zile.
  • În a treia zi echipa a construit 42x100 − 7 km. Suma celor trei zile este lungimea pistei: 30x100 + 42x100 + 42x100 − 7 = x, adică 114x100 − x = 7, deci 14x100 = 7. Rezultă 14x=700, x=50 km.

2. Se consideră expresia E(x)=(x+4x−3 − x−3x+4 + 49x²+x−12) : 7x−3, unde x este număr real, x≠−4 și x≠3.

a) (2p) Arată că x²+x−12=(x−3)(x+4), pentru orice număr real x.
  • x²+x−12=x²−3x+4x−12=x(x−3)+4(x−3)=(x−3)(x+4), pentru orice număr real x.

b) (3p) Arată că numărul N=√E(2)+E(4)+E(6)+…+E(16) este natural.
  • Cu numitorul comun (x−3)(x+4): E(x)=(x+4)² − (x−3)² + 49(x−3)(x+4) · x−37. Cum (x+4)²−(x−3)²=(x²+8x+16)−(x²−6x+9)=14x+7, numărătorul este 14x+56=14(x+4), deci E(x)=14(x+4)7(x+4)=2, pentru orice x≠−4 și x≠3. Suma are 8 termeni (E(2), E(4), …, E(16)), fiecare egal cu 2, deci N=√8·2=√16=4, număr natural.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=2x−6.

a) (2p) Arată că f(3)·f(2025)=0.
  • f(3)=2·3−6=0, deci f(3)·f(2025)=0·f(2025)=0.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină aria triunghiului ABM, unde punctul M este simetricul punctului A față de punctul O.
  • f(x)=0 dă x=3, deci A(3,0); f(0)=−6, deci B(0,−6). M este simetricul lui A față de O, deci M(−3,0) și AM=2·AO=6. Înălțimea din B pe AM (axa Ox) este OB=6, deci aria triunghiului ABM este AM·OB2=6·62=18.

4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB=12 cm și BC=6 cm. Bisectoarea unghiului BCD intersectează latura AB în punctul E și diagonala BD în punctul F.

A B C D E F

a) (2p) Arată că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 36 cm.
  • P = 2·(AB+BC) = 2·(12+6) = 36 cm.

b) (3p) Calculează lungimea segmentului AF.
  • CE este bisectoarea unghiului drept BCD, deci ∠BCE=45° și triunghiul BCE este dreptunghic isoscel: BE=BC=6 cm, deci BE=AE=6 cm și E este mijlocul lui AB. Fie O intersecția diagonalelor AC și BD; O este mijlocul lui AC. În triunghiul ABC, BO și CE sunt mediane, deci F (intersecția lor) este centrul de greutate. Atunci AF este pe mediana AM, cu M mijlocul lui BC: BM=3 cm și AM=√AB²+BM²=√144+9=√153=3√17 cm. Cum AF=(23)·AM, obținem AF=2√17 cm.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC cu AB=6 cm. Punctele B, C și M sunt coliniare și punctul C este mijlocul segmentului BM. Punctul N este proiecția punctului M pe dreapta AC, iar dreapta BC este mediatoarea segmentului AP.

A B C M N P

a) (2p) Arată că lungimea segmentului NC este egală cu 3 cm.
  • C este mijlocul lui BM, deci CM=BC=6 cm. Unghiurile ACB și MCN sunt opuse la vârf, deci ∠MCN=∠ACB=60°. În triunghiul CNM, dreptunghic în N, ∠CMN=90°−60°=30°, iar cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: CN=CM2=3 cm.

b) (3p) Demonstrează că punctele M, N și P sunt coliniare.
  • Fie Q intersecția dreptelor AP și BC. Cum CQ este mediatoarea segmentului AP, CP=CA=6 cm și ∠PCQ=∠ACQ=60°. Atunci ∠NCP=180°−∠PCQ−∠ACQ=60° (N este pe prelungirea lui AC dincolo de C), deci ∠NCP=∠NCM=60°. Triunghiurile CPN și CMN au CP=CM=6 cm, ∠NCP=∠NCM și latura CN comună, deci sunt congruente (LUL), de unde ∠CNP=∠CNM=90°. Rezultă ∠MNP=∠CNM+∠CNP=180°, deci punctele M, N și P sunt coliniare.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDEFGH cu AB=6 cm. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AE și DH.

A B C D E F G H M N

a) (2p) Arată că volumul cubului ABCDEFGH este egal cu 216 cm³.
  • V = AB³ = 6³ = 216 cm³.

b) (3p) Calculează distanța de la punctul H la planul (CMN).
  • Fie Q mijlocul muchiei GC. HNCQ este paralelogram (HN∥QC și HN=QC=3 cm), deci HQ∥NC; cum NC⊂(MNC), avem HQ∥(MNC), deci d(H,(MNC))=d(Q,(MNC)). Fie R piciorul perpendicularei din Q pe NC. MN∥AD∥BC și BC⊥(DCG), deci MN⊥(DCG) și MN⊥QR. Cum QR⊥NC și QR⊥MN, cu MN și NC concurente în planul (MNC), rezultă QR⊥(MNC), deci d(Q,(MNC))=QR. În triunghiul NQC, dreptunghic în Q: NQ=6 cm, QC=3 cm, NC=√36+9=3√5 cm, iar QR=NQ·QCNC=183√5=6√5=6√55 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →