Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2022 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2022 la Matematică: simularea națională

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare aprilie 2022): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 6 − 18 : 2 este egal cu:

  1. A. −3
  2. B. −6
  3. C. 0
  4. D. 12
Vezi rezolvarea
  • Împărțirea se face înaintea scăderii: 18 : 2 = 9, apoi 6 − 9 = −3.

  • Răspuns

    A. −3

2. (5p) Dacă a2 = b3, atunci rezultatul calculului 2b − 3a este egal cu:

  1. A. −1
  2. B. −5
  3. C. 0
  4. D. 5
Vezi rezolvarea
  • Din proporția a2 = b3, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: 3a = 2b. Atunci 2b − 3a = 0.

  • Răspuns

    C. 0

3. (5p) Soluția ecuației x + 6 = 2 este numărul întreg:

  1. A. −4
  2. B. −8
  3. C. 4
  4. D. 8
Vezi rezolvarea
  • x = 2 − 6 = −4.

  • Răspuns

    A. −4

4. (5p) Dintre numerele (12)², (12)³, (12)⁴ și (12)⁵, cel mai mic este numărul:

  1. A. (12)²
  2. B. (12)³
  3. C. (12)⁴
  4. D. (12)⁵
Vezi rezolvarea
  • (12)² = 14, (12)³ = 18, (12)⁴ = 116, (12)⁵ = 132. Baza fiind între 0 și 1, puterea scade când exponentul crește, deci cel mai mic este (12)⁵ = 132.

  • Răspuns

    D. (12)⁵

5. (5p) Patru elevi, Elena, Alina, Paul și Adi, au calculat media aritmetică a numerelor a = 3 − 2√2 și b = 3 + 2√2. Rezultatele obținute sunt: Elena — 14, Alina — 6, Paul — 3, Adi — 1. Conform informațiilor, rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Adi
  2. B. Alina
  3. C. Elena
  4. D. Paul
Vezi rezolvarea
  • a + b = 3 − 2√2 + 3 + 2√2 = 6, deci media aritmetică este a + b2 = 6 : 2 = 3. Rezultatul corect l-a obținut Paul.

  • Răspuns

    D. Paul

6. (5p) Numărul real x verifică relațiile 2 ≤ x < 5. Ioana afirmă „Numărul real x aparține intervalului [2, 5)”. Afirmația Ioanei este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Intervalul [2, 5) conține exact numerele reale x cu 2 ≤ x < 5 (2 inclus, 5 exclus), deci afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, A și B sunt puncte distincte, punctul C se află pe segmentul AB, astfel încât AB = 3·AC, iar AC = 2 cm. Lungimea segmentului BC este egală cu:

A C B
  1. A. 2 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 6 cm
  4. D. 8 cm
Vezi rezolvarea
  • AB = 3·AC = 3·2 = 6 cm. Cum C este pe segmentul AB, BC = AB − AC = 6 − 2 = 4 cm.

  • Răspuns

    B. 4 cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente complementare. Semidreapta OD este bisectoarea unghiului BOC, iar măsura unghiului AOD este de 55°. Măsura unghiului AOB este egală cu:

O A B D C
  1. A. 15°
  2. B. 20°
  3. C. 35°
  4. D. 55°
Vezi rezolvarea
  • Notăm ∠AOB = x. Unghiurile fiind complementare, ∠BOC = 90° − x, iar ∠BOD = 90° − x2. Atunci ∠AOD = x + 90° − x2 = 55°, adică 2x + 90° − x = 110°, deci x = 20°. (Altfel: ∠DOC = 90° − 55° = 35°, deci ∠BOC = 70° și ∠AOB = 20°.)

  • Răspuns

    B. 20°

3. (5p) În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A cu AB = 4 cm. Semidreapta BM este bisectoarea unghiului ABC, M ∈ AC și BM = MC. Lungimea segmentului BC este egală cu:

B C A M
  1. A. 2 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 8 cm
  4. D. 12 cm
Vezi rezolvarea
  • Din BM = MC, triunghiul BMC este isoscel, deci ∠MBC = ∠C. BM fiind bisectoare, ∠ABC = 2·∠MBC = 2·∠C. Cum ∠ABC + ∠C = 90°, rezultă 3·∠C = 90°, adică ∠C = 30°. Cateta AB se opune unghiului de 30°, deci AB = BC2 și BC = 2·4 = 8 cm.

  • Răspuns

    C. 8 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu AB ∥ CD, AB = 4 cm și CD = 8 cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului ABCD este egală cu:

A B C D
  1. A. 4 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 8 cm
  4. D. 12 cm
Vezi rezolvarea
  • Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor: AB + CD2 = 4 + 82 = 6 cm.

  • Răspuns

    B. 6 cm

5. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C și D se află pe cercul de centru O, AB este diametru, măsura arcului mic AC este egală cu 60° și dreptele CD și AB sunt perpendiculare. Măsura unghiului ACD este egală cu:

A B C D O
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°
Vezi rezolvarea
  • Diametrul AB este perpendicular pe coarda CD, deci o împarte în două arce congruente: arcul AD = arcul AC = 60°. Unghiul ACD este înscris în cerc și cuprinde arcul AD, deci ∠ACD = 60° : 2 = 30°.

  • Răspuns

    A. 30°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat VABC cu AB = 4 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat VABC este egală cu:

V A B C
  1. A. 12 cm
  2. B. 16 cm
  3. C. 20 cm
  4. D. 24 cm
Vezi rezolvarea
  • Tetraedrul regulat are 6 muchii, toate de aceeași lungime, 4 cm. Suma lungimilor lor este 6·4 = 24 cm.

  • Răspuns

    D. 24 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Suma a două numere naturale a și b este egală cu 42. Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b este 7.

a) (2p) Numerele 14 și 28 îndeplinesc condițiile din enunț? Justifică răspunsul dat.
  • Deși 14 + 28 = 42, avem c.m.m.d.c.(14, 28) = 14, fiindcă 28 = 2·14. Cum 14 ≠ 7, numerele 14 și 28 nu îndeplinesc condițiile din enunț.

b) (3p) Determină numerele naturale a și b, a < b, care îndeplinesc condițiile din enunț.
  • Din c.m.m.d.c.(a, b) = 7, scriem a = 7k și b = 7p, cu k și p numere naturale prime între ele, k < p. Atunci 7k + 7p = 42, deci k + p = 6. Perechile cu k < p sunt (0, 6), (1, 5), (2, 4); dintre ele, doar k = 1 și p = 5 sunt prime între ele (c.m.m.d.c.(0, 6) = 6 și c.m.m.d.c.(2, 4) = 2). Deci a = 7 și b = 35.

2. Se consideră expresia E(x) = (2x + 1)² − (2x + 3)(2x − 3) + (2x − 3)², unde x este număr real.

a) (2p) Arată că E(x) = 4x² − 8x + 19, pentru orice număr real x.
  • E(x) = 4x² + 4x + 1 − (4x² − 9) + 4x² − 12x + 9 = 4x² + 4x + 1 − 4x² + 9 + 4x² − 12x + 9 = 4x² − 8x + 19, pentru orice număr real x.

b) (3p) Determină cel mai mare număr natural A, știind că E(x) ≥ A, pentru orice număr real x.
  • E(x) = 4x² − 8x + 4 + 15 = (2x − 2)² + 15. Cum (2x − 2)² ≥ 0, rezultă E(x) ≥ 15 pentru orice x real, iar pentru x = 1 avem E(1) = 15. Deci E(x) ≥ A pentru orice x real exact când A ≤ 15, iar cel mai mare număr natural cu această proprietate este A = 15.

3. Prețul unui obiect este 500 de lei. După o ieftinire cu 12% din prețul obiectului, urmată de o ieftinire cu p% din noul preț, obiectul costă 330 de lei.

a) (2p) Arată că, după prima ieftinire, obiectul costă 440 de lei.
  • Prima ieftinire este de (12100)·500 = 60 de lei, deci după ea obiectul costă 500 − 60 = 440 de lei.

b) (3p) Determină numărul p.
  • După a doua ieftinire: 440 − (p100)·440 = 330, deci (p100)·440 = 110. Rezultă p = 110·100440 = 25.

4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral CDE cu EC = 6 cm. Dreptele EC și AB se intersectează în punctul P.

A B C D E P

a) (2p) Arată că CP = 4√3 cm.
  • Latura pătratului este DC = EC = 6 cm, deci BC = 6 cm. Cum CD ∥ AP, iar EP este secantă, ∠BPC = ∠DCE = 60° (unghiuri corespondente), deci în triunghiul BCP, dreptunghic în B, ∠BCP = 30° și BP = CP2. Din teorema lui Pitagora, CP² = BP² + BC², adică 4·BP² = BP² + 36, deci BP² = 12, BP = 2√3 cm și CP = 2·BP = 4√3 cm.

b) (3p) Arată că distanța de la punctul P la dreapta AE este egală cu √2(3 + 2√3) cm.
  • ∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + 60° = 150° și AD = DE = 6 cm, deci triunghiul ADE este isoscel, cu ∠AED = 180° − 150°2 = 15°. Atunci ∠AEP = ∠DEC − ∠AED = 60° − 15° = 45°. Punctele E, C, P sunt coliniare, deci EP = EC + CP = 6 + 4√3 cm. Fie PQ ⊥ AE, Q ∈ AE. În triunghiul dreptunghic PQE, sin(∠QEP) = PQEP, deci PQ = EP·sin 45° = (6 + 4√3)·√22 = √2(3 + 2√3) cm. Așadar d(P, AE) = √2(3 + 2√3) cm.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, AG = 4 cm, BG = 3 cm și dreptele AG și BG sunt perpendiculare.

B A C G

a) (2p) Arată că perimetrul triunghiului ABG este egal cu 12 cm.
  • Triunghiul ABG este dreptunghic în G, deci AB² = AG² + BG² = 16 + 9 = 25 și AB = 5 cm. Perimetrul triunghiului ABG este 3 + 4 + 5 = 12 cm.

b) (3p) Determină lungimea segmentului BC.
  • Fie {P} = AG ∩ BC. G fiind centrul de greutate, AP este mediană, deci P este mijlocul lui BC, iar AG = 2·GP, de unde GP = 2 cm. Triunghiul PGB este dreptunghic în G (fiindcă AP ⊥ BG), deci BP² = BG² + GP² = 9 + 4 = 13 și BP = √13 cm. Atunci BC = 2·BP = 2√13 cm.

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată SABCD cu baza pătratul ABCD, ∠SAC = 45° și AB = 12 cm. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor BC, respectiv SD, iar O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD.

S A B C D O M N

a) (2p) Arată că SC = 12 cm.
  • AC este diagonala pătratului ABCD, deci AC = 12√2 cm. Piramida fiind regulată, SA = SC, deci ∠SCA = ∠SAC = 45° și ∠ASC = 90°: triunghiul SAC este dreptunghic isoscel. Din SA² + SC² = AC², adică 2·SC² = 288, rezultă SC² = 144 și SC = 12 cm.

b) (3p) Calculează lungimea segmentului MN.
  • Fie P mijlocul segmentului SA. NP este linie mijlocie în triunghiul SAD, deci NP ∥ AD și NP = AD2 = 6 cm. Cum M este mijlocul lui BC și BC ∥ AD, avem MB ∥ AD și MB = 6 cm, deci NP ∥ MB și NP = MB: patrulaterul BMNP este paralelogram, de unde MN = BP. Muchiile laterale au 12 cm (ca SC), deci triunghiul SAB este echilateral cu latura 12 cm, iar BP este înălțimea lui: BP = 12√32 = 6√3 cm. Așadar MN = 6√3 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →