Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2024 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2024 la Matematică: modelul M.E.N.

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Model M.E.N. 2024): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 3+2·5 este egal cu:

  1. A. 1
  2. B. 10
  3. C. 13
  4. D. 25
Vezi rezolvarea
  • Înmulțirea înaintea adunării: 2·5=10, apoi 3+10=13.

  • Răspuns

    C. 13

2. (5p) Dacă x2=34, atunci 4·x este egal cu:

  1. A. 32
  2. B. 6
  3. C. 83
  4. D. 12
Vezi rezolvarea
  • Din x2=34 rezultă x=2·34=32. Atunci 4·x=4·(32)=6.

  • Răspuns

    B. 6

3. (5p) Soluția ecuației 2−x=2 este numărul:

  1. A. −4
  2. B. 0
  3. C. 2
  4. D. 4
Vezi rezolvarea
  • 2−x=2, deci x=2−2=0.

  • Răspuns

    B. 0

4. (5p) Cel mai mic element al mulțimii A={19, 199, 1999, 19999} este:

  1. A. 19
  2. B. 199
  3. C. 1999
  4. D. 19999
Vezi rezolvarea
  • Toate fracțiile au numărătorul 1, deci cea mai mică este cea cu numitorul cel mai mare: 19999.

  • Răspuns

    D. 19999

5. (5p) Patru elevi, Andra, Marius, Ioana și David, au calculat produsul numerelor a=√5 și b=√20. Rezultatele obținute sunt: Andra — 10, Marius — 5, Ioana — 2√5, David — √10. Rezultatul corect a fost obținut de către:

  1. A. Andra
  2. B. David
  3. C. Ioana
  4. D. Marius
Vezi rezolvarea
  • a·b=√5·√20=√100=10. Rezultatul corect l-a obținut Andra.

  • Răspuns

    A. Andra

6. (5p) Alina afirmă că: „În intervalul de numere reale [−3, 2] sunt 7 numere întregi.” Afirmația Alinei este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Numerele întregi din [−3, 2] sunt −3, −2, −1, 0, 1, 2, adică 6 numere (capetele sunt incluse). Afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB=BC=CD, iar lungimea segmentului CD este egală cu 10 cm. Lungimea segmentului AD este egală cu:

A B C D
  1. A. 10 cm
  2. B. 15 cm
  3. C. 20 cm
  4. D. 30 cm
Vezi rezolvarea
  • AB=BC=CD=10 cm, deci AD=AB+BC+CD=3·10=30 cm.

  • Răspuns

    D. 30 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOB și COD, cu punctele A, O și D coliniare. Măsura unghiului AOB este egală cu 50° și OM este bisectoarea unghiului AOB. Măsura unghiului DOM este egală cu:

O A B M C D
  1. A. 25°
  2. B. 50°
  3. C. 130°
  4. D. 155°
Vezi rezolvarea
  • OM este bisectoarea unghiului AOB, deci ∠AOM=50°:2=25°. Punctele A, O, D sunt coliniare, deci ∠AOM și ∠MOD sunt suplementare: ∠DOM=180°−25°=155°.

  • Răspuns

    D. 155°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB=AC și ∠BAC=50°. Punctul D aparține segmentului AC, astfel încât BD=BC. Măsura unghiului BDC este egală cu:

A B C D
  1. A. 50°
  2. B. 65°
  3. C. 115°
  4. D. 130°
Vezi rezolvarea
  • În triunghiul isoscel ABC, ∠ACB=(180°−50°):2=65°. Din BD=BC, triunghiul BDC este isoscel, deci ∠BDC=∠BCD=65°.

  • Răspuns

    B. 65°

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu AB=10 cm și BC=6 cm. Perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu:

A B C D
  1. A. 16 cm
  2. B. 24 cm
  3. C. 32 cm
  4. D. 40 cm
Vezi rezolvarea
  • Laturile opuse ale paralelogramului sunt egale, deci perimetrul este 2·(AB+BC)=2·(10+6)=32 cm.

  • Răspuns

    C. 32 cm

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B aparțin cercului, astfel încât măsura unghiului AOB este de 60° și AB=10 cm. Lungimea cercului este egală cu:

O A B
  1. A. 10π cm
  2. B. 20π cm
  3. C. 100π cm
  4. D. 200π cm
Vezi rezolvarea
  • OA=OB (raze), iar ∠AOB=60°, deci triunghiul AOB este echilateral și raza este r=AB=10 cm. Lungimea cercului este 2πr=2π·10=20π cm.

  • Răspuns

    B. 20π cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB. Înălțimea conului are lungimea egală cu 2√2 cm. Aria bazei conului este egală cu:

V A B O
  1. A. 8 cm²
  2. B. 8π cm²
  3. C. 16 cm²
  4. D. 16π cm²
Vezi rezolvarea
  • Triunghiul VAB este dreptunghic (în V) și isoscel (VA=VB), deci înălțimea VO este mediană: VO=AB2=r. Așadar r=2√2 cm, iar aria bazei este πr²=π·(2√2)²=8π cm².

  • Răspuns

    B. 8π cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit 20% din întreaga sumă, în a doua zi 30% din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei.

a) (2p) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu x întreaga sumă. După prima zi rămân x−(20100)·x=(80100)·x. În a doua zi a cheltuit (30100)·(80100)·x=(24100)·x. Cum (24100)·x < (25100)·x=(14)·x, Mihai nu a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani.

b) (3p) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.
  • Prima zi: x5; a doua zi: 6x25; a treia zi: 6x25+20; a patra zi: 44. Atunci x5+6x25+(6x25+20)+44=x, adică 17x25+64=x, deci 8x25=64 și x=200. Mihai a cheltuit, în total, 200 de lei.

2. Se consideră expresia E(x)=(x9+3x − 2x+3 + 3x²+3x) : (x3 + 3x − 2), unde x este un număr real, x≠−3, x≠0 și x≠3.

a) (2p) Arată că x9+3x − 2x+3 + 3x²+3x = (x−3)²3x(x+3), pentru orice număr real x, x≠−3 și x≠0.
  • Descompunem numitorii: 9+3x=3(x+3) și x²+3x=x(x+3). Numitorul comun este 3x(x+3): x3(x+3) − 2x+3 + 3x(x+3) = x²−6x+93x(x+3) = (x−3)²3x(x+3).

b) (3p) Determină numărul natural n pentru care 5·E(n) este număr natural.
  • x3+3x−2=x²+9−6x3x=(x−3)²3x. Atunci E(x)=(x−3)²3x(x+3) · 3x(x−3)² = 1x+3, pentru x≠−3, x≠0, x≠3. Deci 5·E(n)=5n+3 este număr natural doar dacă n+3 este divizor al lui 5, adică n+3=1 sau n+3=5. Cum n este număr natural, n+3=1 nu convine, deci n=2.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x+2.

O N x y

a) (2p) Arată că 2023·f(−2)=0.
  • f(−2)=−2+2=0, deci 2023·f(−2)=2023·0=0.

b) (3p) Punctele A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării geometrice a graficului funcției f cu axele Ox, respectiv Oy, ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul M este mijlocul segmentului AB. Arată că punctele N, O și M sunt coliniare, unde N(3, −3).
  • f(x)=0 dă x=−2, deci A(−2, 0); f(0)=2, deci B(0, 2). Triunghiul AOB este dreptunghic isoscel (OA=OB=2), iar OM este mediană, deci și bisectoare: ∠MOB=45°. Fie P(3, 0) proiecția lui N pe Ox; triunghiul NOP este dreptunghic isoscel (OP=PN=3), deci ∠PON=45°. Atunci ∠MON=∠MOB+∠BOP+∠PON=45°+90°+45°=180°, deci punctele N, O și M sunt coliniare. (Altfel: M(−1, 1), iar M, O și N se află toate pe dreapta y=−x.)

4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB=12 cm și BC=9 cm. Punctul E aparține segmentului AC, astfel încât AE=10 cm. Prin E se duc dreptele QN și PM paralele cu dreptele AB, respectiv BC. Punctele M, N, P și Q aparțin segmentelor AB, BC, CD și respectiv AD.

A B C D E M N P Q

a) (2p) Arată că AC=15 cm.
  • În triunghiul dreptunghic ABC, din teorema lui Pitagora: AC=√AB²+BC²=√144+81=√225=15 cm.

b) (3p) Arată că aria patrulaterului AMEQ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului CNEP.
  • QN∥AB∥CD, PM∥BC∥AD și ∠QAM=∠PCN=90°, deci AMEQ și CNEP sunt dreptunghiuri. EC=AC−AE=15−10=5 cm. Din PC∥AM rezultă ΔPEC~ΔMEA, deci PEME=PCAM=ECEA=510=12. Atunci ME=2·PE și AM=2·PC, deci aria AMEQ=AM·ME=4·PC·PE=4·aria CNEP. (Concret: AM=8 cm, ME=6 cm, aria 48 cm²; PC=4 cm, PE=3 cm, aria 12 cm².)

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în B, cu AB=2√2 cm, BC=2√6 cm și triunghiul dreptunghic isoscel AEB cu AE=EB. Punctele E și C sunt de aceeași parte a dreptei AB.

A B C E

a) (2p) Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 2√2(3+√3) cm.
  • În triunghiul dreptunghic ABC: AC=√AB²+BC²=√8+24=√32=4√2 cm. Perimetrul este AB+AC+BC=2√2+4√2+2√6=6√2+2√6=2√2(3+√3) cm.

b) (3p) Calculează distanța de la punctul E la dreapta AC.
  • Fie EM⊥AB, M∈AB; în triunghiul dreptunghic isoscel AEB, EM este mediană, deci EM=AB2=√2 cm. BE este bisectoarea unghiului ABC (∠ABE=45°), deci, cu EN⊥BC, N∈BC, avem EN=EM=√2 cm. Aria AEC = aria ABC − aria AEB − aria BEC = AB·BC2 − AB·EM2 − BC·EN2 = 4√3 − 2 − 2√3 = 2(√3−1) cm². Dacă EP⊥AC, P∈AC, atunci aria AEC=AC·EP2, deci EP=2·2(√3−1)4√2=√3−1√2=√6−√22 cm.

6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB=AA'=4 cm și BC=2 cm.

D A B C D' A' B' C'

a) (2p) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D' este egală cu 64 cm².
  • Aria totală = 2·(AB·AA' + BC·AA' + AB·BC) = 2·(16+8+8) = 2·32 = 64 cm².

b) (3p) Arată că dreapta NP este paralelă cu planul (ACD'), unde punctul N este proiecția punctului C' pe dreapta B'D' și punctul P este proiecția punctului C' pe dreapta CB'.
  • B'C'=BC=2 cm, C'D'=AB=4 cm, CC'=AA'=4 cm. Triunghiurile dreptunghice B'C'D' și B'C'C (cu unghiul drept în C') au catetele 2 cm și 4 cm, deci sunt congruente și B'D'=B'C=√4+16=2√5 cm. Din teorema catetei: B'N=B'C'²B'D' și B'P=B'C'²B'C, deci B'N=B'P. Atunci, în triunghiul B'D'C, B'NB'D'=B'PB'C, iar din reciproca teoremei lui Thales NP∥D'C. Cum D'C este inclusă în planul (ACD'), iar NP nu este în acest plan, rezultă NP∥(ACD').

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →