Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2023 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2023 la Matematică: simularea națională

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare martie 2023): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Numărul natural scris în baza zece, de forma 17x (cu bară deasupra), divizibil cu 10, este egal cu:

  1. A. 17
  2. B. 70
  3. C. 100
  4. D. 170
Vezi rezolvarea
  • Un număr e divizibil cu 10 dacă ultima lui cifră este 0, deci x=0 și numărul este 170. Celelalte variante nu au forma 17x (trei cifre, primele două 1 și 7).

  • Răspuns

    D. 170

2. (5p) Numărul care reprezintă 20% din 50 este egal cu:

  1. A. 10
  2. B. 20
  3. C. 25
  4. D. 100
Vezi rezolvarea
  • 20% din 50 = (20100)·50 = 1000100 = 10.

  • Răspuns

    A. 10

3. (5p) Suma numerelor întregi din intervalul [−2, 3] este egală cu:

  1. A. −3
  2. B. −9
  3. C. 3
  4. D. 6
Vezi rezolvarea
  • Intervalul este închis, deci numerele întregi din el sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3. Suma lor: (−2)+(−1)+0+1+2+3 = 3.

  • Răspuns

    C. 3

4. (5p) Inversul numărului 23 este numărul:

  1. A. −23
  2. B. −32
  3. C. 23
  4. D. 32
Vezi rezolvarea
  • Inversul unui număr nenul a este 1a, iar produsul lor este 1: (23)·(32)=1. Deci inversul lui 23 este 32 (−23 este opusul, nu inversul).

  • Răspuns

    D. 32

5. (5p) Patru elevi, Elena, Maria, George și Mihai, au calculat media geometrică a numerelor x=3−2√2 și y=3+2√2 și au obținut următoarele rezultate: Elena — √17, Maria — √2, George — 1, Mihai — 3. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

  1. A. Elena
  2. B. George
  3. C. Maria
  4. D. Mihai
Vezi rezolvarea
  • Media geometrică este √x·y. Produsul x·y=(3−2√2)(3+2√2)=3²−(2√2)²=9−8=1, deci media geometrică este √1=1. Rezultatul corect l-a obținut George.

  • Răspuns

    B. George

6. (5p) Afirmația „Numărul 4 este mai mare decât numărul 2√5.” este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Introducem factorii sub radical: 4=√16 și 2√5=√4·5=√20. Cum 16 < 20, avem 4 < 2√5, deci afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 5 cm. Punctul C este simetricul punctului B față de punctul A, iar punctul D este simetricul punctului C față de punctul B. Lungimea segmentului CD este egală cu:

C A B D
  1. A. 5 cm
  2. B. 10 cm
  3. C. 15 cm
  4. D. 20 cm
Vezi rezolvarea
  • C este simetricul lui B față de A, deci CA=AB=5 cm și CB=10 cm. D este simetricul lui C față de B, deci BD=CB=10 cm. Atunci CD=CB+BD=10+10=20 cm.

  • Răspuns

    D. 20 cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf. Măsura unghiului AOC este egală cu 30°, iar semidreapta OE este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului DOE este egală cu:

O A B C D E
  1. A. 75°
  2. B. 90°
  3. C. 105°
  4. D. 150°
Vezi rezolvarea
  • Unghiurile AOC și BOC sunt adiacente suplementare, deci ∠BOC=180°−30°=150°, iar bisectoarea dă ∠BOE=150°:2=75°. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: ∠BOD=∠AOC=30°. Atunci ∠DOE=∠DOB+∠BOE=30°+75°=105°.

  • Răspuns

    C. 105°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB=12 cm, BC=13 cm și AC=7 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor AB, BC, respectiv AC. Perimetrul triunghiului MNP este egal cu:

A B C M N P
  1. A. 8 cm
  2. B. 16 cm
  3. C. 18 cm
  4. D. 32 cm
Vezi rezolvarea
  • Segmentele MN, NP și PM sunt linii mijlocii în triunghiul ABC, deci fiecare este jumătate din latura paralelă cu ea: MN=AC2, NP=AB2, PM=BC2. Perimetrul triunghiului MNP este 12+13+72=322=16 cm.

  • Răspuns

    B. 16 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat patrulaterul ABCD. Dreapta AC este perpendiculară pe dreapta BC și dreapta AD este perpendiculară pe dreapta BD. Punctul M este mijlocul segmentului AB și măsura unghiului DCM este egală cu 40°. Măsura unghiului CMD este egală cu:

A B C D M
  1. A. 80°
  2. B. 90°
  3. C. 100°
  4. D. 120°
Vezi rezolvarea
  • Triunghiurile ACB și ADB sunt dreptunghice, cu ipotenuza comună AB. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză, deci MC=MD=AB2. Triunghiul MCD este isoscel, cu ∠MDC=∠MCD=40°, așadar ∠CMD=180°−40°−40°=100°.

  • Răspuns

    C. 100°

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC. Punctul A aparține cercului, astfel încât măsura arcului mic AC este egală cu 120°. Măsura unghiului ACB este egală cu:

O C B A
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 120°
Vezi rezolvarea
  • BC este diametru, deci semicercul are 180°, iar arcul mic AB măsoară 180°−120°=60°. Unghiul ACB este înscris în cerc și cuprinde arcul AB, deci ∠ACB=60°:2=30°.

  • Răspuns

    A. 30°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB și raza bazei conului AO=4 cm. Generatoarea acestui con are lungimea egală cu:

V A B O
  1. A. 4 cm
  2. B. 4√2 cm
  3. C. 8 cm
  4. D. 8√2 cm
Vezi rezolvarea
  • Triunghiul VAB este isoscel (VA=VB, generatoare) și dreptunghic, deci dreptunghic în V, cu ipotenuza AB=2·AO=8 cm. Catetele sunt egale: VA=AB√2=8√2=4√2 cm. (Altfel: VO=AO=4 cm, iar în triunghiul VOA, VA=√4²+4²=4√2 cm.)

  • Răspuns

    B. 4√2 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Într-un bloc de locuințe sunt 22 de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind 60 de camere.

a) (2p) Este posibil ca în acest bloc să fie 16 apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat.
  • În 16 apartamente cu patru camere ar fi 4·16=64 de camere. Cum 64 > 60, iar în bloc sunt în total doar 60 de camere, nu este posibil ca blocul să aibă 16 apartamente cu patru camere.

b) (3p) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.
  • Notăm cu x numărul apartamentelor cu două camere; atunci sunt 22−x apartamente cu patru camere. Numărul camerelor: 2x+4(22−x)=60, adică 2x+88−4x=60, deci 2x=28 și x=14. În bloc sunt 14 apartamente cu două camere (și 8 cu patru camere: 28+32=60).

2. Se consideră expresia E(x)=(x²−9x²−16 − 1) : (1x+4 + 1x−4 − 3x²−16), unde x este număr real, x≠−4, x≠4 și x≠32.

a) (2p) Arată că E(x)=72x−3, unde x este număr real, x≠−4, x≠4 și x≠32.
  • Prima paranteză: x²−9−x²+16x²−16=7x²−16. A doua paranteză, cu numitorul comun x²−16=(x−4)(x+4): x−4+x+4−3(x−4)(x+4)=2x−3(x−4)(x+4). Atunci E(x)=7(x−4)(x+4) · (x−4)(x+4)2x−3=72x−3.

b) (3p) Determină numerele naturale n pentru care E(n) este număr natural.
  • E(n)=72n−3, cu n natural, n≠4. Ca E(n) să fie număr natural, 2n−3 trebuie să fie un divizor pozitiv al lui 7, deci 2n−3=1 sau 2n−3=7. Obținem n=2 (E(2)=7) sau n=5 (E(5)=1), care convin. (Pentru n=0 și n=1, 2n−3 este negativ, iar E(n) este negativ.)

3. Se consideră numerele a=(−13)³² : (−13)³⁰ · (−6)² și b=(11+2 + 11+2+3) · (0,5)⁻².

a) (2p) Arată că a=4.
  • La împărțirea puterilor cu aceeași bază scădem exponenții: (−13)³² : (−13)³⁰=(−13)²=19. Cum (−6)²=36, rezultă a=(19)·36=4.

b) (3p) Calculează media aritmetică a numerelor a și b.
  • b=(13 + 16)·(510)⁻²=(26 + 16)·(12)⁻²=(36)·2²=(12)·4=2. Media aritmetică a numerelor a și b este a+b2=4+22=3.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu BC=10 cm, AC=20 cm și măsura unghiului ACB este egală cu 30°. Punctul D aparține segmentului AC, astfel încât unghiul DBC este congruent cu unghiul BAC.

A B C D

a) (2p) Arată că aria triunghiului ABC este egală cu 50 cm².
  • Ducem BP⊥AC, P∈AC. Triunghiul BPC este dreptunghic în P, cu ∠BCP=30°, deci cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: BP=BC2=5 cm. Aria triunghiului ABC este AC·BP2=20·52=50 cm².

b) (3p) Calculează lungimea segmentului CD.
  • Triunghiurile CBD și CAB au unghiul C comun și ∠CBD=∠CAB, deci sunt asemenea (cazul U.U.): ΔCBD ~ ΔCAB. Din asemănare, CDCB=CBCA, adică CD10=1020, de unde CD=10020=5 cm.

5. În figura alăturată sunt reprezentate rombul ABCD cu măsura unghiului BAD egală cu 45° și triunghiul dreptunghic isoscel ABE cu AB=BE=10 cm. Punctele C și E sunt de o parte și de alta a dreptei AB.

A B C D E

a) (2p) Arată că dreapta DA este perpendiculară pe dreapta AE.
  • Triunghiul ABE este dreptunghic isoscel, cu AB=BE, deci unghiul drept este în B și ∠BAE=45°. Cum D și E sunt de o parte și de alta a dreptei AB, ∠DAE=∠DAB+∠BAE=45°+45°=90°, deci dreapta DA este perpendiculară pe dreapta AE.

b) (3p) Arată că tangenta unghiului CAE este egală cu √2+1.
  • Fie N punctul de intersecție a dreptelor BC și AE. Din rombul ABCD, BC∥AD, iar DA⊥AE, deci BN⊥AE. În triunghiul dreptunghic isoscel ABE, AE=AB·√2=10√2 cm, iar înălțimea BN este și mediană, deci BN=AN=AE2=5√2 cm. Atunci CN=CB+BN=10+5√2 cm. În triunghiul ACN, dreptunghic în N, tg(∠CAE)=CNAN=10+5√25√2=105√2+1=2√2+1=√2+1.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB=6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului B′C′ și dreptele BM și B′C se intersectează în punctul R. Punctul P aparține segmentului AC, astfel încât AP=2√2 cm.

A B C D A′ B′ C′ D′ M R P

a) (2p) Arată că CP=2·AP.
  • AC este diagonala pătratului ABCD cu latura 6 cm, deci AC=6√2 cm. Atunci CP=AC−AP=6√2−2√2=4√2 cm=2·2√2 cm=2·AP.

b) (3p) Determină măsura unghiului dreptelor PR și AD′.
  • B′M∥BC (M∈B′C′), deci triunghiurile RB′M și RCB sunt asemenea, iar B′RRC=B′MBC=36=12. Din a), APPC=12. În triunghiul AB′C avem deci CPPA=CRRB′=2, iar din reciproca teoremei lui Thales PR∥AB′. Atunci unghiul dreptelor PR și AD′ este egal cu unghiul dreptelor AB′ și AD′, adică ∠D′AB′. Triunghiul D′AB′ are laturile diagonale ale fețelor cubului (AD′=AB′=B′D′=6√2 cm), deci este echilateral, iar măsura unghiului cerut este 60°.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →