Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2022 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2022 la Matematică: modelul M.E.N.

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Model M.E.N. 2022): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Restul împărțirii numărului 24 la 10 este egal cu:

  1. A. 1
  2. B. 2
  3. C. 4
  4. D. 6
Vezi rezolvarea
  • 24=10·2+4 și 4 < 10, deci restul este 4.

  • Răspuns

    C. 4

2. (5p) Numărul care reprezintă 15% din 200 este egal cu:

  1. A. 15
  2. B. 30
  3. C. 150
  4. D. 200
Vezi rezolvarea
  • 15% din 200 = (15100)·200 = 15·2 = 30.

  • Răspuns

    B. 30

3. (5p) Suma numerelor −5, −4, 4 și 6 este egală cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 11
  4. D. 19
Vezi rezolvarea
  • −4 și 4 se reduc, iar −5+6=1. Deci (−5)+(−4)+4+6=1.

  • Răspuns

    B. 1

4. (5p) Dintre numerele 92; 4,(5); 8120 și 4,55, cel mai mare este:

  1. A. 4,(5)
  2. B. 4,55
  3. C. 92
  4. D. 8120
Vezi rezolvarea
  • Scriem numerele cu zecimale: 92=4,5; 4,(5)=4,555…; 8120=4,05; 4,55. Comparând, 4,555… > 4,55 > 4,5 > 4,05, deci cel mai mare este 4,(5).

  • Răspuns

    A. 4,(5)

5. (5p) Patru elevi, Andreea, Mihaela, Radu și Vlad, calculează media geometrică a numerelor reale a=3+2√2 și b=3−2√2 și obțin rezultatele: Andreea — 1, Mihaela — √6, Radu — 3, Vlad — √17. Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

  1. A. Andreea
  2. B. Mihaela
  3. C. Radu
  4. D. Vlad
Vezi rezolvarea
  • Media geometrică este √a·b. a·b=(3+2√2)(3−2√2)=3²−(2√2)²=9−8=1, deci √a·b=√1=1. Rezultatul corect l-a obținut Andreea.

  • Răspuns

    A. Andreea

6. (5p) Un spectacol a început la ora 21:45 și s-a finalizat la ora 23:15, în aceeași zi. Marian afirmă că: „Spectacolul are o durată de o oră și jumătate.”. Știind că spectacolul nu a avut pauză, afirmația lui Marian este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • De la 21:45 la 22:45 trece o oră, iar de la 22:45 la 23:15 mai trec 30 de minute. Durata este de o oră și jumătate, deci afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C, D și E sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB=1 cm, BC=2 cm, CD=3 cm și DE=6 cm. Mijlocul segmentului AE este punctul:

A B C D E
  1. A. B
  2. B. C
  3. C. D
  4. D. E
Vezi rezolvarea
  • AE=1+2+3+6=12 cm, deci mijlocul lui AE se află la 6 cm de A. Cum AD=AB+BC+CD=1+2+3=6 cm, mijlocul segmentului AE este punctul D.

  • Răspuns

    C. D

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile MON și POQ sunt opuse la vârf, iar semidreptele OA și OB sunt bisectoarele lor. Măsura unghiului AOB este egală cu:

O M N P Q A B
  1. A. 60°
  2. B. 90°
  3. C. 120°
  4. D. 180°
Vezi rezolvarea
  • Notăm ∠MON=∠POQ=2x (unghiuri opuse la vârf). Atunci ∠AON=x, ∠NOP=180°−2x (suplementul lui ∠MON) și ∠POB=x. Deci ∠AOB=x+(180°−2x)+x=180°: semidreptele OA și OB sunt opuse.

  • Răspuns

    D. 180°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC de bază BC. Unghiul A are măsura de 30° și AB=4 cm. Punctul D este mijlocul segmentului BC. Distanța de la punctul D la dreapta AC este egală cu:

A B C D
  1. A. 0,5 cm
  2. B. 1 cm
  3. C. 1,5 cm
  4. D. 2 cm
Vezi rezolvarea
  • Aria triunghiului ABC este AB·AC·sin A2=4·4·(1/2)2=4 cm². Mediana AD împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale, deci aria triunghiului ADC este 2 cm². Dacă DE ⊥ AC, cu E pe AC, atunci AC·DE2=2, adică 4·DE2=2, deci DE=1 cm.

  • Răspuns

    B. 1 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu măsura unghiului BAD de 60° și lungimea segmentului BD egală cu 4 cm. Perimetrul rombului ABCD este egal cu:

A B C D
  1. A. 4√3 cm
  2. B. 8√3 cm
  3. C. 12 cm
  4. D. 16 cm
Vezi rezolvarea
  • În romb AB=AD, iar ∠BAD=60°, deci triunghiul ABD este echilateral: AB=BD=4 cm. Perimetrul rombului este 4·AB=4·4=16 cm.

  • Răspuns

    D. 16 cm

5. (5p) Punctele A, B și C sunt vârfurile unui triunghi isoscel de bază BC, înscris în cercul de centru O, iar măsura unghiului ABC este egală cu 70°. Arcul mic BC are măsura egală cu:

O A B C
  1. A. 40°
  2. B. 70°
  3. C. 80°
  4. D. 140°
Vezi rezolvarea
  • Triunghiul are baza BC, deci ∠ACB=∠ABC=70° și ∠BAC=180°−70°−70°=40°. Unghiul BAC este înscris în cerc și subîntinde arcul mic BC, deci arcul BC are măsura 2·40°=80°.

  • Răspuns

    C. 80°

6. (5p) Volumul paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB=5 dm, BC=6 dm și înălțimea AA′=4 dm, este egal cu:

A B C D A′ B′ C′ D′
  1. A. 30 dm³
  2. B. 88 dm³
  3. C. 120 dm³
  4. D. 148 dm³
Vezi rezolvarea
  • Volumul paralelipipedului dreptunghic este produsul celor trei dimensiuni: V=AB·BC·AA′=5·6·4=120 dm³.

  • Răspuns

    C. 120 dm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte 7, 14, respectiv 21 de bomboane, îi rămân de fiecare dată câte 5 bomboane.

a) (2p) Este posibil ca Radu să aibă în pungă 61 de bomboane? Justifică răspunsul dat.
  • Împărțim 61 la 21: 61=21·2+19, deci la împărțirea în grupe de câte 21 de bomboane ar rămâne 19 bomboane, nu 5. Cum 19≠5, nu este posibil ca Radu să aibă în pungă 61 de bomboane.

b) (3p) Determină numărul bomboanelor din pungă, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre care îndeplinește condițiile din enunț.
  • Fie n numărul bomboanelor. Atunci n=7·c₁+5, n=14·c₂+5 și n=21·c₃+5, cu c₁, c₂, c₃ numere naturale, deci n−5 se divide cu 7, cu 14 și cu 21. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 7=7, 14=2·7 și 21=3·7 este 2·3·7=42, deci n−5 este multiplu de 42: n−5 ∈ {0, 42, 84, 126, …}, adică n ∈ {5, 47, 89, 131, …}. Cel mai mic număr de trei cifre din această listă este n=131. Radu are 131 de bomboane.

2. Se consideră expresia E(x)=(x+1)² − (−x−1)² + x² + 2x + 1, unde x este număr real.

a) (2p) Arată că E(x)=(x+1)², pentru orice număr real x.
  • Cum −x−1=−(x+1), avem (−x−1)²=(x+1)². De asemenea, x²+2x+1=(x+1)². Atunci E(x)=(x+1)² − (x+1)² + (x+1)² = (x+1)², pentru orice număr real x.

b) (3p) Arată că E(x) > x, pentru orice număr real x.
  • E(x)−x=(x+1)²−x=x²+2x+1−x=x²+x+1. Scriem x²+x+1=x²+2·x·(12)+14+34=(x+12)²+34. Cum (x+12)² ≥ 0, rezultă E(x)−x ≥ 34 > 0, deci E(x) > x, pentru orice număr real x.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x+2.

O x y

a) (2p) Arată că f(−1)·f(2019)=2021.
  • f(−1)=−1+2=1 și f(2019)=2019+2=2021. Atunci f(−1)·f(2019)=1·2021=2021.

b) (3p) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției f și de axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy.
  • Intersecția cu axa Ox: f(x)=0 ⇔ x+2=0 ⇔ x=−2, deci A(−2, 0). Intersecția cu axa Oy: f(0)=2, deci B(0, 2). Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele OA=2 și OB=2, deci aria lui este OA·OB2=2·22=2 (unități de arie).

4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi ABC cu AB=12 cm, BC=9 cm și AC=15 cm. Punctul D este simetricul punctului B față de mijlocul segmentului AC, punctul M este mijlocul segmentului CD și N este punctul de intersecție a dreptelor BM și AC.

A B C D M N

a) (2p) Demonstrează că BN=2·MN.
  • Fie O mijlocul lui AC. D fiind simetricul lui B față de O, O este și mijlocul lui BD, deci diagonalele patrulaterului ABCD se înjumătățesc: ABCD este paralelogram, deci AB ∥ CD și CD=AB=12 cm. Atunci CM=CD2=6 cm. Din AB ∥ CM rezultă ΔABN ~ ΔCMN (unghiuri alterne interne și unghiuri opuse la vârf), deci BNMN=ABCM=126=2, adică BN=2·MN.

b) (3p) Determină distanța de la punctul N la dreapta AB.
  • Cum 12²+9²=144+81=225=15², adică AB²+BC²=AC², din reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul ABC este dreptunghic în B. Din asemănarea de la a), ANCN=ABCM=2, deci ANAC=23. Fie T ∈ AB cu NT ⊥ AB; cum și BC ⊥ AB, avem NT ∥ BC, deci ΔATN ~ ΔABC și NTBC=ANAC=23. Rezultă NT=(23)·9=6 cm. Distanța de la N la dreapta AB este 6 cm.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu măsura unghiului ACB de 15° și BC=20 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC și punctul N aparține dreptei BC astfel încât dreapta AN este perpendiculară pe dreapta BC.

A B C M N P Q

a) (2p) Arată că MN=5√3 cm.
  • În triunghiul dreptunghic ABC, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: AM=MC=BC2=10 cm. Triunghiul AMC este isoscel, deci ∠MAC=∠ACM=15°, iar ∠AMN, unghi exterior triunghiului AMC, are măsura 15°+15°=30°. În triunghiul AMN, dreptunghic în N: cos(∠AMN)=MNAM, deci MN=AM·cos 30°=10·(√32)=5√3 cm.

b) (3p) Știind că punctul P este simetricul punctului A față de dreapta BC și că punctul Q este simetricul punctului M față de punctul N, calculează aria patrulaterului AMPQ.
  • Cum AN ⊥ BC, P (simetricul lui A față de BC) se află pe dreapta AN, iar N este mijlocul lui AP. Q este simetricul lui M față de N, deci N este mijlocul lui MQ, iar Q se află pe dreapta BC. Diagonalele AP și MQ se înjumătățesc, deci AMPQ este paralelogram; în plus AP ⊥ MQ, deci AMPQ este romb. În triunghiul AMN, dreptunghic în N, cateta AN se opune unghiului de 30°, deci AN=AM2=5 cm. Atunci AP=2·AN=10 cm, MQ=2·MN=10√3 cm, iar aria rombului este AP·MQ2=10·10√32=50√3 cm².

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD, cu baza pătratul ABCD, cu AB=8 cm. Înălțimea VO a piramidei are lungimea egală cu 4√3 cm, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD.

V A B C D O

a) (2p) Arată că volumul piramidei VABCD este egal cu 256√33 cm³.
  • Aria bazei este AB²=8²=64 cm². Volumul piramidei este V=Aria bazei·VO3=64·4√33=256√33 cm³.

b) (3p) Demonstrează că măsura unghiului planelor (VAD) și (VBC) este egală cu 60°.
  • Planele (VAD) și (VBC) au comun punctul V și conțin dreptele paralele AD și BC, deci se intersectează după dreapta d, care trece prin V și d ∥ AD ∥ BC. Fie S mijlocul lui AD și R mijlocul lui BC. Triunghiurile VAD și VBC sunt isoscele (piramida e regulată), deci VS ⊥ AD și VR ⊥ BC, de unde VS ⊥ d și VR ⊥ d; așadar unghiul planelor este unghiul dintre VS și VR. OS=OR=AB2=4 cm, iar în triunghiul dreptunghic VOS: VS=√VO²+OS²=√48+16=√64=8 cm; la fel VR=8 cm. Cum RS=AB=8 cm, triunghiul VRS este echilateral, deci ∠SVR=60°. Măsura unghiului planelor (VAD) și (VBC) este 60°.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →