Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2021 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2021 la Matematică: simularea națională

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare martie 2021): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 45:5+4 este egal cu:

  1. A. 4
  2. B. 5
  3. C. 9
  4. D. 13
Vezi rezolvarea
  • Împărțirea se face înaintea adunării: 45:5=9, apoi 9+4=13.

  • Răspuns

    D. 13

2. (5p) Numărul care reprezintă 40% din 50 este egal cu:

  1. A. 20
  2. B. 25
  3. C. 40
  4. D. 50
Vezi rezolvarea
  • 40% din 50 = (40100)·50 = 2000100 = 20.

  • Răspuns

    A. 20

3. (5p) Suma numerelor −2, −1, 0, 1, 2 și 3 este egală cu:

  1. A. −3
  2. B. −9
  3. C. 3
  4. D. 9
Vezi rezolvarea
  • Numerele opuse se reduc: (−2)+2=0 și (−1)+1=0. Rămâne 0+3=3.

  • Răspuns

    C. 3

4. (5p) Fracția 1421 este echivalentă cu:

  1. A. 23
  2. B. 37
  3. C. 73
  4. D. 2114
Vezi rezolvarea
  • Simplificăm prin 7 (cel mai mare divizor comun al lui 14 și 21): 1421 = 23.

  • Răspuns

    A. 23

5. (5p) Se consideră mulțimea A = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 2}. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii A prin enumerarea elementelor sale este:

  1. A. {−1, 0, 1, 2}
  2. B. {−2, −1, 0, 1, 2}
  3. C. {−2, −1, 0, 1}
  4. D. {0, 1, 2}
Vezi rezolvarea
  • Căutăm numerele întregi mai mari sau egale cu −2 și strict mai mici decât 2: −2, −1, 0, 1 (numărul −2 intră, numărul 2 nu). Deci A = {−2, −1, 0, 1}.

  • Răspuns

    C. {−2, −1, 0, 1}

6. (5p) La alegerile pentru stabilirea responsabilului unei clase, elevii candidați au fost: Andrei, Vali, Sanda și Dana. După ce toți elevii clasei au votat, procentele obținute de candidați au fost următoarele: Andrei — 15%, Vali — 25%, Sanda — 35%, Dana — x%. Dana a fost votată de:

  1. A. 15% din elevii clasei
  2. B. 25% din elevii clasei
  3. C. 35% din elevii clasei
  4. D. 45% din elevii clasei
Vezi rezolvarea
  • Toți elevii au votat, deci procentele însumează 100%: 15+25+35+x=100, adică 75+x=100 și x=25. Dana a fost votată de 25% din elevii clasei.

  • Răspuns

    B. 25% din elevii clasei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată punctele A, B, C, D și E, în această ordine, sunt coliniare, astfel încât AB ≠ BC. Dacă segmentul AB este congruent cu segmentul CD și segmentul BC este congruent cu segmentul DE, atunci:

A B C D E
  1. A. punctul B este mijlocul segmentului AC
  2. B. punctul C este mijlocul segmentului AE
  3. C. punctul C este mijlocul segmentului CD
  4. D. punctul D este mijlocul segmentului CE
Vezi rezolvarea
  • Notăm AB=CD=a și BC=DE=b, cu a ≠ b. Atunci AC=AB+BC=a+b și CE=CD+DE=a+b, deci AC=CE și C este mijlocul lui AE. B nu e mijlocul lui AC și D nu e mijlocul lui CE, fiindcă a ≠ b.

  • Răspuns

    B. punctul C este mijlocul segmentului AE

2. (5p) Unghiurile congruente AOB, BOC, COD, DOE și EOA sunt unghiuri formate în jurul punctului O. Măsura unghiului AOC este egală cu:

O A B C D E
  1. A. 36°
  2. B. 72°
  3. C. 120°
  4. D. 144°
Vezi rezolvarea
  • Suma unghiurilor formate în jurul unui punct este 360°, deci fiecare dintre cele 5 unghiuri congruente are 360°:5=72°. Atunci ∠AOC=∠AOB+∠BOC=72°+72°=144°.

  • Răspuns

    D. 144°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu măsura unghiului ABC de 30°. Bisectoarea unghiului ACB intersectează dreapta AB în punctul M și AM = 3 cm. Lungimea catetei AB este egală cu:

A B C M
  1. A. 3 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 9 cm
  4. D. 12 cm
Vezi rezolvarea
  • ∠ACB=90°−30°=60°, deci ∠ACM=∠MCB=30°. În triunghiul MCB, ∠MCB=∠MBC=30°, deci MB=MC. În triunghiul dreptunghic AMC, cateta AM se opune unghiului de 30°, deci MC=2·AM=6 cm. Atunci MB=6 cm și AB=AM+MB=3+6=9 cm.

  • Răspuns

    C. 9 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD. Punctele E, F, G și H sunt mijloacele segmentelor AB, BC, CD, respectiv AD. Raportul dintre aria patrulaterului EFGH și aria rombului ABCD este egal cu:

A B C D E F G H
  1. A. 12
  2. B. 14
  3. C. 23
  4. D. 34
Vezi rezolvarea
  • EH este linie mijlocie în triunghiul ABD, deci EH=BD2 și EH ∥ BD; analog EF=AC2 și EF ∥ AC. Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci EFGH este dreptunghi cu aria (AC2)·(BD2)=AC·BD4. Aria rombului este AC·BD2, deci raportul este 12.

  • Răspuns

    A. 12

5. (5p) În figura alăturată punctele distincte A, B, C și D sunt situate pe cerc, astfel încât arcele AB, BC, CD și AD sunt congruente. Dacă AC = 12 cm, atunci lungimea cercului este egală cu:

A B C D
  1. A. 3π cm
  2. B. 4π cm
  3. C. 6π cm
  4. D. 12π cm
Vezi rezolvarea
  • Cele 4 arce congruente au câte 360°:4=90°, deci arcul ABC are 180° și AC este diametru: 2R=12 cm, R=6 cm. Lungimea cercului este 2πR=12π cm.

  • Răspuns

    D. 12π cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului dreptelor BC' și D'C este egală cu:

A B C D A' B' C' D'
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°
Vezi rezolvarea
  • ABC'D' este dreptunghi (AB ∥ D'C' și AB=D'C'), deci BC' ∥ AD'. Unghiul cerut este unghiul dreptelor AD' și D'C, adică ∠AD'C. Triunghiul AD'C are laturile diagonale ale fețelor cubului, deci e echilateral și ∠AD'C=60°.

  • Răspuns

    C. 60°

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Oana începe să citească o carte. În prima zi citește jumătate din numărul paginilor cărții, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi citește jumătate din numărul paginilor rămase și constată că mai are de citit 32 de pagini.

a) (2p) a) Dacă ar continua să citească zilnic jumătate din numărul de pagini rămase, câte pagini ar avea de citit în cea de-a cincea zi?
  • După a treia zi au rămas 32 de pagini. În a patra zi ar citi 32:2=16 pagini și ar mai rămâne 32−16=16 pagini. În a cincea zi ar avea de citit 16:2=8 pagini.

b) (3p) b) Determină numărul de pagini ale cărții.
  • Fie x numărul de pagini ale cărții. În prima zi citește x2 și rămân x2; în a doua zi citește x4 și rămân x4; în a treia zi citește x8 și rămân x8 pagini. Ecuația: x2 + x4 + x8 + 32 = x, adică 7x8 + 32 = x, deci x8 = 32 și x = 256. Cartea are 256 de pagini. (Verificare: 128 + 64 + 32 + 32 = 256.) Altfel, mergând înapoi: înainte de a treia zi erau 2·32=64 de pagini, înainte de a doua zi 128, iar cartea are 2·128=256 de pagini.

2. Se consideră expresia E(x) = (x+1)² − 2(x²−1) + (x−1)² − x², unde x este număr real.

a) (2p) a) Arată că E(x) = (2+x)(2−x), pentru orice număr real x.
  • Cum x²−1 = (x+1)(x−1), primii trei termeni formează pătratul unei diferențe: (x+1)² − 2(x+1)(x−1) + (x−1)² = ((x+1)−(x−1))² = 2² = 4. Deci E(x) = 4 − x² = (2+x)(2−x), pentru orice număr real x. (Altfel, prin calcul: x²+2x+1 − 2x²+2 + x²−2x+1 − x² = 4 − x².)

b) (3p) b) Arată că numărul A = E(√2) + E(−√2) − 7 aparține intervalului [−√10, −2√2].
  • Din a), E(x) = 4 − x², deci E(√2) = 4 − 2 = 2 și E(−√2) = 4 − 2 = 2. Atunci A = 2 + 2 − 7 = −3. Comparăm: √10 > √9 = 3, deci −√10 < −3; 2√2 = √8 < √9 = 3, deci −3 < −2√2. Așadar −√10 < −3 < −2√2, adică A ∈ [−√10, −2√2].

3. Se consideră numerele reale a = (23 + (34)·(56)) : (3112) și b = (3√2) : (5√2 − 3a√8).

a) (2p) a) Arată că a = 12.
  • (34)·(56) = 1524 = 58. Apoi 23 + 58 = 1624 + 1524 = 3124. Deci a = (3124) : (3112) = (3124)·(1231) = 1224 = 12.

b) (3p) b) Arată că numărul N = √(2a+4b)2 este natural.
  • Cu a = 12 și √8 = 2√2: 3a√8 = 3·(12)·2√2 = 3√2, deci 5√2 − 3a√8 = 5√2 − 3√2 = 2√2. Atunci b = (3√2) : (2√2) = 3√2·2√2 = 34. Rezultă 2a + 4b = 1 + 3 = 4, iar N = √42 = 22 = 1, care este număr natural.

4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD cu AB ∥ CD, AD = BC = 6 cm și AB = 2CD = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB.

A B C D M N P

a) (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului ADM este egal cu 16 cm.
  • AB = 8 cm, deci CD = 4 cm și AM = MB = 4 cm. Cum MB ∥ DC și MB = DC = 4 cm, patrulaterul MBCD este paralelogram, deci DM = BC = 6 cm. Perimetrul triunghiului ADM este AD + DM + AM = 6 + 6 + 4 = 16 cm.

b) (3p) b) Știind că punctul N aparține segmentului DM astfel încât DN = 4 cm și punctul P este centrul de greutate al triunghiului BCD, demonstrează că dreptele NP și AC sunt paralele.
  • Fie O mijlocul segmentului BD. În triunghiul ABD, DM este mediană (M e mijlocul lui AB) și DN = 4 cm = (23)·6 cm = (23)·DM, deci N este centrul de greutate al triunghiului ABD. Atunci N se află pe mediana AO și ANAO = 23, adică ONOA = 13. În triunghiul BCD, CO este mediană, iar P este centrul de greutate, deci P se află pe CO și CPCO = 23, adică OPOC = 13. În triunghiul OAC avem ONOA = OPOC = 13, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, NP ∥ AC.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 5 cm și AC = 12 cm. Punctul D aparține segmentului AC astfel încât DC = 3AD. Perpendiculara din punctul D pe dreapta BC intersectează latura BC în punctul E.

A C B D E

a) (2p) a) Arată că sinusul unghiului ACB este egal cu 513.
  • Cu teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: BC² = AB² + AC² = 25 + 144 = 169, deci BC = 13 cm. Atunci sin(∠ACB) = ABBC = 513.

b) (3p) b) Arată că lungimea segmentului DE este mai mică decât 3,5 cm.
  • Din DC = 3AD și AD + DC = 12 cm rezultă AD = 3 cm și DC = 9 cm. Triunghiul DEC este dreptunghic în E, deci sin(∠ACB) = DEDC, adică DE9 = 513 și DE = 4513 cm. (Altfel: triunghiurile CED și CAB sunt asemenea, au câte un unghi drept și unghiul C comun, deci DEAB = CDCB.) Cum 4513 < 72 ⇔ 90 < 91, adevărat, rezultă DE < 3,5 cm.

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, AB = VA = 6 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor BC, AD, respectiv VB.

V D A B C N M P O

a) (2p) a) Arată că unghiul dintre dreapta VB și planul (ABC) are măsura de 45°.
  • Fie O intersecția diagonalelor pătratului ABCD. Piramida fiind regulată, VO ⊥ (ABC), deci proiecția dreptei VB pe planul (ABC) este OB și unghiul cerut este ∠VBO. BD = 6√2 cm, iar VB² + VD² = 36 + 36 = 72 = BD², deci triunghiul VBD este dreptunghic isoscel în V (reciproca teoremei lui Pitagora). Atunci ∠VBD = 45°, adică unghiul dintre VB și planul (ABC) are 45°.

b) (3p) b) Arată că planele (NCV) și (AMP) sunt paralele.
  • AN = MC = 3 cm (jumătăți din laturi egale) și AN ∥ MC (AD ∥ BC), deci AMCN este paralelogram și AM ∥ CN, cu CN ⊂ (NCV). P și M sunt mijloacele lui VB și BC, deci PM este linie mijlocie în triunghiul BCV și PM ∥ CV, cu CV ⊂ (NCV). Planul (AMP) conține dreptele concurente MA și MP (MA ∩ MP = {M}), ambele paralele cu planul (NCV), iar dreptele CN și CV sunt concurente în C. Rezultă că (NCV) ∥ (AMP).

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →