Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2021 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2021 la Matematică: modelul M.E.N.

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Model M.E.N. 2021): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Scrierea numărului 432 ca produs de puteri de numere prime distincte este:

  1. A. 2·6³
  2. B. 2³·3⁴
  3. C. 2⁴·3³
  4. D. 3·12²
Vezi rezolvarea
  • Împărțim succesiv la 2: 432:2=216, 216:2=108, 108:2=54, 54:2=27, deci 432=2⁴·27=2⁴·3³. Variantele 2·6³ și 3·12² au valoarea 432, dar 6 și 12 nu sunt numere prime, iar 2³·3⁴=8·81=648.

  • Răspuns

    C. 2⁴·3³

2. (5p) În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la numărul fructelor cumpărate de patru elevi (mere / banane): Mircea — 5 mere, 7 banane; Alina — 4 mere, 2 banane; Nicolae — 3 mere, 4 banane; Diana — 6 mere, 3 banane. Elevii, pentru care raportul dintre numărul de mere și numărul de banane are aceeași valoare, sunt:

  1. A. Alina și Diana
  2. B. Diana și Nicolae
  3. C. Mircea și Alina
  4. D. Mircea și Nicolae
Vezi rezolvarea
  • Rapoartele mere/banane sunt: Mircea 57, Alina 42=2, Nicolae 34, Diana 63=2. Aceeași valoare (2) o au Alina și Diana.

  • Răspuns

    A. Alina și Diana

3. (5p) Într-o zi, dimineața, temperatura aerului era de −6°C, iar la prânz de +3°C. În acea zi, temperatura măsurată la prânz este mai mare decât temperatura măsurată dimineața cu:

  1. A. −9°C
  2. B. 3°C
  3. C. 6°C
  4. D. 9°C
Vezi rezolvarea
  • Diferența este 3−(−6)=3+6=9, deci la prânz temperatura este mai mare cu 9°C.

  • Răspuns

    D. 9°C

4. (5p) Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este:

  1. A. 2,1(4); 2,144; 2,(14); 2,14
  2. B. 2,14; 2,(14); 2,144; 2,1(4)
  3. C. 2,14; 2,1(4); 2,(14); 2,144
  4. D. 2,144; 2,14; 2,(14); 2,1(4)
Vezi rezolvarea
  • Scriem zecimalele: 2,14=2,1400…; 2,(14)=2,1414…; 2,144=2,1440…; 2,1(4)=2,1444…. Comparând cifră cu cifră: 2,14 < 2,(14) < 2,144 < 2,1(4).

  • Răspuns

    B. 2,14; 2,(14); 2,144; 2,1(4)

5. (5p) Patru elevi calculează media aritmetică a numerelor 8√3, 3√3 și −17√3 și obțin rezultatele: Mircea — −3√3; Alina — −14√3; Nicolae — −2√3; Diana — 2√3. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media aritmetică a celor trei numere este:

  1. A. Alina
  2. B. Diana
  3. C. Mircea
  4. D. Nicolae
Vezi rezolvarea
  • Suma numerelor este (8+3−17)·√3=−6√3, iar media aritmetică este (−6√3):3=−2√3. Rezultatul corect l-a obținut Nicolae.

  • Răspuns

    D. Nicolae

6. (5p) Un autoturism se deplasează în intervalul orar 18:30 – 22:15, apoi staționează. Mircea afirmă că „după trei ore de la plecare, autoturismul staționează”. Afirmația lui Mircea este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • La trei ore după plecare este ora 18:30+3 h=21:30. Cum autoturismul se deplasează până la 22:15, la 21:30 el încă merge. Afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D, M și P. Simetricul punctului M față de punctul P este punctul:

B C P A D M
  1. A. A
  2. B. B
  3. C. C
  4. D. D
Vezi rezolvarea
  • Pe rețea, ca să ajungi de la M la P mergi 2 unități la stânga și 1 unitate în sus. Simetricul lui M față de P se obține continuând la fel din P: încă 2 unități la stânga și 1 în sus, adică punctul B. P este mijlocul segmentului MB.

  • Răspuns

    B. B

2. (5p) În figura alăturată dreptele a și b sunt paralele. Valoarea lui x este egală cu:

a b 40° 20° x
  1. A. 20°
  2. B. 40°
  3. C. 60°
  4. D. 120°
Vezi rezolvarea
  • Ducem prin vârful unghiului x o paralelă la a (deci și la b). Ea împarte unghiul x în două unghiuri alterne interne cu cele date: unul de 40° (cu dreapta a) și unul de 20° (cu dreapta b). Așadar x=40°+20°=60°.

  • Răspuns

    C. 60°

3. (5p) Figura alăturată reprezintă schița unui traseu turistic. Punctele A, B și C marchează poziția a trei cabane. Triunghiul ABC este dreptunghic cu măsura unghiului A de 90°. Zona este străbătută de o șosea care este reprezentată de dreapta AM, unde punctul M este mijlocul laturii BC. Dacă măsura unghiului ABC este de 60° și AC=4 km, atunci distanța de la cabana C la șoseaua AM este de:

B C A M
  1. A. 1 km
  2. B. 2 km
  3. C. 4 km
  4. D. 8 km
Vezi rezolvarea
  • AM este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci AM=MC și triunghiul AMC este isoscel: ∠MAC=∠C=90°−60°=30°. Distanța de la C la dreapta AM este cateta opusă unghiului de 30° în triunghiul dreptunghic format cu ipotenuza AC, deci este AC2=4:2=2 km.

  • Răspuns

    B. 2 km

4. (5p) Figura alăturată reprezintă schița unei camere în formă de pătrat ABCD cu latura AB=9 m. Pătratul CEFG cu latura de 1 m reprezintă un șemineu. Proprietarul acoperă suprafața reprezentată de patrulaterul AFED cu podea din lemn masiv. Aria suprafeței acoperită cu lemn masiv, reprezentată de patrulaterul AFED, este egală cu:

D E C F G A B
  1. A. 16 m²
  2. B. 32 m²
  3. C. 40 m²
  4. D. 80 m²
Vezi rezolvarea
  • Împărțim patrulaterul AFED prin diagonala AE în triunghiurile ADE și AEF. DE=9−1=8 m, deci aria ADE=AD·DE2=9·82=36 m². În triunghiul AEF, baza EF=1 m, iar înălțimea din A pe dreapta EF este distanța de la latura AD la dreapta EF, adică 9−1=8 m, deci aria AEF=1·82=4 m². Aria AFED=36+4=40 m².

  • Răspuns

    C. 40 m²

5. (5p) Cercurile din figura alăturată se intersectează în punctele E și F. Punctul O este centrul cercului mic, iar punctul M este centrul cercului mare. Dacă punctul M este mijlocul segmentului OA, atunci unghiul OEA are măsura de:

O M A E F
  1. A. 60°
  2. B. 80°
  3. C. 90°
  4. D. 100°
Vezi rezolvarea
  • M este centrul cercului mare și mijlocul lui OA, iar A și O sunt pe cercul mare, deci OA este un diametru al cercului mare. E este tot pe cercul mare, așa că unghiul OEA este înscris într-un semicerc: ∠OEA=90°.

  • Răspuns

    C. 90°

6. (5p) Mircea are o cutie de jucării în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de 20 cm, 30 cm și 115 cm. Numărul maxim de cuburi din lemn cu latura de 10 cm care intră în cutia pentru jucării a lui Mircea este egal cu:

  1. A. 60
  2. B. 66
  3. C. 69
  4. D. 72
Vezi rezolvarea
  • Pe fiecare dimensiune încap: 20:10=2 cuburi, 30:10=3 cuburi și, pe 115 cm, doar 11 cuburi (11·10=110 cm, rămân 5 cm). Numărul maxim de cuburi este 2·3·11=66.

  • Răspuns

    B. 66

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Trei pixuri și două stilouri costă împreună 38 lei. Patru pixuri și cinci stilouri costă 74 lei.

a) (2p) Este posibil ca prețul unui stilou să fie 16 lei? Justifică răspunsul dat.
  • Dacă un stilou ar costa 16 lei, cinci stilouri ar costa 5·16=80 de lei. Dar patru pixuri și cinci stilouri costă împreună doar 74 lei, mai puțin decât 80 de lei. Deci nu este posibil ca prețul unui stilou să fie 16 lei.

b) (3p) Determină prețul unui stilou.
  • Notăm cu x prețul unui pix și cu y prețul unui stilou: 3x+2y=38 și 4x+5y=74. Înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 3: 12x+8y=152 și 12x+15y=222. Scăzând, 7y=70, deci y=10. Atunci 3x=38−20=18, x=6. Un stilou costă 10 lei (iar un pix 6 lei).

2. Se consideră expresia E(x)=(2x²−7x−17x²−10x+21 − x+1x−7) : 1x²−9, unde x ∈ ℝ∖{−3, 3, 7}.

a) (2p) Arată că x²−10x+21=(x−3)(x−7), pentru orice număr real x.
  • Scriem −10x=−3x−7x: x²−10x+21=x²−3x−7x+21=x(x−3)−7(x−3)=(x−3)(x−7), pentru orice număr real x.

b) (3p) Demonstrează că E(x)=(x+2)(x+3), pentru orice x ∈ ℝ∖{−3, 3, 7}.
  • Cu a), aducem la numitorul comun (x−3)(x−7): 2x²−7x−17 − (x+1)(x−3)(x−3)(x−7) = 2x²−7x−17−x²+2x+3(x−3)(x−7) = x²−5x−14(x−3)(x−7). Cum x²−5x−14=(x+2)(x−7), paranteza devine x+2x−3. Împărțirea la 1x²−9 înseamnă înmulțirea cu x²−9=(x−3)(x+3), deci E(x)=(x+2x−3)·(x−3)(x+3)=(x+2)(x+3), pentru orice x ∈ ℝ∖{−3, 3, 7}.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=2x−4.

O A B x y

a) (2p) Calculează f(0)+f(2).
  • f(0)=2·0−4=−4 și f(2)=2·2−4=0, deci f(0)+f(2)=−4+0=−4.

b) (3p) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, determină coordonatele mijlocului segmentului AB.
  • Intersecția cu Ox: f(x)=0, adică 2x−4=0, x=2, deci A(2, 0). Intersecția cu Oy: f(0)=−4, deci B(0, −4). Mijlocul segmentului AB are coordonatele (2+02, 0+(−4)2), adică (1, −2).

4. În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu AB ∥ CD, AB=4 cm, BC=8 cm și CD=10 cm. Paralela prin punctul A la dreapta BC intersectează latura CD în punctul T și diagonala BD în punctul M.

A B C D T M

a) (2p) Arată că AT=8 cm.
  • AB ∥ TC (fiindcă AB ∥ CD) și AT ∥ BC, deci patrulaterul ABCT este paralelogram. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale, deci AT=BC=8 cm.

b) (3p) Determină lungimea segmentului AM.
  • Din paralelogramul ABCT, TC=AB=4 cm, deci TD=CD−TC=10−4=6 cm. Cum AB ∥ DT, triunghiurile AMB și TMD sunt asemenea, deci ABTD=AMTM, adică 46=AM8−AM. Rezultă 6·AM=4·(8−AM), 10·AM=32, deci AM=3,2 cm.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A. Perpendiculara în punctul B pe dreapta BC intersectează dreapta AC în punctul E. Lungimea laturii AC este de 9 cm, iar lungimea segmentului AE este de 4 cm.

E A B C

a) (2p) Arată AB=6 cm.
  • Triunghiul BCE este dreptunghic în B, iar BA ⊥ CE, cu A pe CE, deci BA este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei. După teorema înălțimii, BA²=AC·AE=9·4=36, deci AB=√36=6 cm.

b) (3p) Demonstrează că triunghiul BCE are perimetrul mai mic decât 32 cm.
  • În triunghiul ABC dreptunghic în A: BC²=AB²+AC²=36+81=117, deci BC=√117=3√13 cm. În triunghiul ABE dreptunghic în A: BE²=AB²+AE²=36+16=52, deci BE=√52=2√13 cm. Iar CE=AC+AE=9+4=13 cm. Perimetrul triunghiului BCE este 3√13+2√13+13=(5√13+13) cm. Perimetrul este mai mic decât 32 cm dacă 5√13 < 19, adică √325 < √361, ceea ce este adevărat (325 < 361). Deci perimetrul triunghiului BCE este mai mic decât 32 cm.

6. Ionel oferă un cadou într-o cutie în formă de cub ABCDA'B'C'D' cu AB=30 cm, reprezentat în figura alăturată.

A B C D A' B' C' D' O

a) (2p) Arată că o hârtie de ambalat cadouri în formă de dreptunghi, cu lungimea de 1 m și lățimea de 50 cm nu este suficientă pentru ambalarea cadoului oferit de Ionel.
  • Aria hârtiei este 100·50=5000 cm² (1 m=100 cm). Aria totală a cubului este 6·30²=6·900=5400 cm². Cum 5000 < 5400, hârtia nu poate acoperi toate fețele cutiei, deci nu este suficientă.

b) (3p) Determină măsura unghiului dreptelor AO și DC', unde {O}=BC' ∩ B'C.
  • AD ∥ B'C' și AD=B'C', deci ADC'B' este paralelogram și AB' ∥ DC'. Atunci unghiul dreptelor AO și DC' este egal cu unghiul dreptelor AO și AB'. Triunghiul AB'C are laturile AB', B'C și AC diagonale ale unor fețe ale cubului, toate egale cu 30√2 cm, deci este echilateral. O este intersecția diagonalelor pătratului BCC'B', deci mijlocul lui B'C, iar AO este mediană în triunghiul echilateral AB'C, deci și bisectoare: ∠B'AO=60°:2=30°. Unghiul dreptelor AO și DC' are măsura de 30°.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →