Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2025 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2025 la Matematică: rezerva

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Rezervă iunie 2025): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Cel mai mare număr întreg de două cifre este:

  1. A. −10
  2. B. −99
  3. C. 10
  4. D. 99
Vezi rezolvarea
  • Numerele întregi de două cifre sunt de la −99 la −10 și de la 10 la 99. Cel mai mare dintre ele este 99.

  • Răspuns

    D. 99

2. (5p) Știind că x−17 = y2, rezultatul calculului 2x−7y este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 2
  4. D. 5
Vezi rezolvarea
  • Din proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: 2(x−1) = 7y, adică 2x−2 = 7y. Atunci 2x−7y = 2.

  • Răspuns

    C. 2

3. (5p) Luni, temperatura înregistrată la ora 9 la o stație meteo a fost de −4 °C, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate 2 °C. Temperatura înregistrată marți este mai mare decât temperatura înregistrată luni cu:

  1. A. −2 °C
  2. B. −6 °C
  3. C. 2 °C
  4. D. 6 °C
Vezi rezolvarea
  • Diferența este 2−(−4) = 2+4 = 6, deci temperatura de marți este mai mare cu 6 °C.

  • Răspuns

    D. 6 °C

4. (5p) Dintre numerele 72, 73, 74 și 75, cel mai mic este:

  1. A. 72
  2. B. 73
  3. C. 74
  4. D. 75
Vezi rezolvarea
  • Fracțiile au același numărător, deci cea mai mică este cea cu numitorul cel mai mare: 75.

  • Răspuns

    D. 75

5. (5p) Patru elevi, Elena, Sofia, Petrică și Tudor, calculează produsul numerelor a = √5−2 și b = √5+2. Rezultatele obținute sunt: Elena — 9, Sofia — 7, Petrică — 3, Tudor — 1. Conform informațiilor, rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Elena
  2. B. Petrică
  3. C. Sofia
  4. D. Tudor
Vezi rezolvarea
  • Folosim formula (m−n)(m+n) = m²−n²: a·b = (√5−2)(√5+2) = (√5)²−2² = 5−4 = 1. Rezultatul corect l-a obținut Tudor.

  • Răspuns

    D. Tudor

6. (5p) În diagrama alăturată sunt prezentate informații despre numărul de cărți vândute într-o librărie în primele cinci luni ale anului 2025. Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai multe cărți au fost vândute în luna aprilie.” este:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Ianuarie Februarie Martie Aprilie Mai Număr de cărți
  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Din diagramă: ianuarie — 1500, februarie — 2000, martie — 500, aprilie — 2500, mai — 1500 de cărți. Cea mai înaltă coloană este cea din aprilie (2500), deci afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 4 cm și BC = 14 cm. Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB, iar punctul N este mijlocul segmentului BC, lungimea segmentului MN este egală cu:

A M B N C
  1. A. 2 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 7 cm
  4. D. 9 cm
Vezi rezolvarea
  • MB = AB2 = 2 cm și BN = BC2 = 7 cm. Cum B se află între M și N, MN = MB+BN = 2+7 = 9 cm.

  • Răspuns

    D. 9 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente AOB, BOC și COA. Măsura unghiului AOB este egală cu:

O A B C
  1. A. 60°
  2. B. 90°
  3. C. 120°
  4. D. 150°
Vezi rezolvarea
  • Cele trei unghiuri sunt unghiuri în jurul punctului O, deci suma măsurilor lor este 360°. Fiind congruente, fiecare are 360°:3 = 120°.

  • Răspuns

    C. 120°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AC = BC și măsura unghiului ACB de 40°. Punctele A, B și D sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului CBD este egală cu:

A B C D
  1. A. 40°
  2. B. 70°
  3. C. 100°
  4. D. 110°
Vezi rezolvarea
  • Triunghiul fiind isoscel cu baza AB, ∠CAB = ∠CBA = 180°−40°2 = 70°. Unghiul CBD este suplementul unghiului CBA: ∠CBD = 180°−70° = 110°.

  • Răspuns

    D. 110°

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AD = BD = 4√2 cm. Măsura unghiului ADB este egală cu 90°. Lungimea segmentului CD este egală cu:

A B C D
  1. A. 4 cm
  2. B. 4√2 cm
  3. C. 4√3 cm
  4. D. 8 cm
Vezi rezolvarea
  • În triunghiul dreptunghic ADB, din teorema lui Pitagora: AB² = AD²+BD² = 32+32 = 64, deci AB = 8 cm. Laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente, deci CD = AB = 8 cm.

  • Răspuns

    D. 8 cm

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 10 cm. Triunghiul echilateral ABC este înscris în acest cerc. Lungimea laturii triunghiului echilateral ABC este egală cu:

O A B C
  1. A. 10√2 cm
  2. B. 10√3 cm
  3. C. 15 cm
  4. D. 20 cm
Vezi rezolvarea
  • Latura triunghiului echilateral înscris într-un cerc de rază R este l = R√3. Aici l = 10√3 cm. (Altfel: raza este 23 din înălțime, deci înălțimea este 15 cm, iar l√32 = 15 dă l = 30√3 = 10√3 cm.)

  • Răspuns

    B. 10√3 cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o sferă cu raza de 3 cm. Volumul sferei este egal cu:

  1. A. 12π cm³
  2. B. 27π cm³
  3. C. 36π cm³
  4. D. 108π cm³
Vezi rezolvarea
  • Volumul sferei este V = 4πR³3 = 4π·273 = 36π cm³.

  • Răspuns

    C. 36π cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Doi copii, Alin și Maria, au împreună o sumă de bani S. Sumele de bani ale fiecărui copil sunt exprimate prin numere naturale. Dacă Alin ar cheltui 10 lei, atunci lui Alin i-ar rămâne de două ori mai puțini bani decât are Maria.

a) (2p) Este posibil ca suma S să fie egală cu 140 de lei? Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu x suma lui Alin (în lei). După ce ar cheltui 10 lei, i-ar rămâne x−10 lei, iar Maria are de două ori mai mult: 2(x−10) lei. Dacă S = 140, atunci x+2(x−10) = 140, adică 3x−20 = 140, deci 3x = 160 și x = 1603, care nu este număr natural. Așadar nu este posibil ca suma S să fie egală cu 140 de lei.

b) (3p) Determină suma S, știind că, dacă Maria i-ar da 15 lei lui Alin, atunci cei doi copii ar avea sume egale de bani.
  • Fie x suma lui Alin și y suma Mariei. Avem y = 2(x−10) și x+15 = y−15. Înlocuind: x+15 = 2x−20−15, adică x+15 = 2x−35, de unde x = 50 de lei și y = 2·40 = 80 de lei. Verificare: 50+15 = 65 = 80−15. Atunci S = 50+80 = 130 de lei.

2. Se consideră expresia E(x) = (1x²−4 + 1x+2) : 1x³−4x, unde x este număr real, x ≠ 0, x ≠ −2 și x ≠ 2.

a) (2p) Arată că 1x²−4 + 1x+2 = x−1(x+2)(x−2), pentru orice număr real x, x ≠ −2 și x ≠ 2.
  • Cum x²−4 = (x+2)(x−2), aducem la numitorul comun (x+2)(x−2): 1(x+2)(x−2) + x−2(x+2)(x−2) = 1+x−2(x+2)(x−2) = x−1(x+2)(x−2).

b) (3p) Arată că numărul N = E(√2−1) + 3·E(√2+1) este natural.
  • Cum x³−4x = x(x²−4) = x(x+2)(x−2), împărțirea la 1x³−4x înseamnă înmulțirea cu x(x+2)(x−2): E(x) = x−1(x+2)(x−2) · x(x+2)(x−2) = x(x−1). Atunci E(√2−1) = (√2−1)(√2−2) = 2−2√2−√2+2 = 4−3√2 și E(√2+1) = (√2+1)·√2 = 2+√2. Rezultă N = 4−3√2 + 3(2+√2) = 4−3√2+6+3√2 = 10, care este număr natural.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x) = 2−x.

O A B x y

a) (2p) Arată că f(1)·f(0) = 2.
  • f(1) = 2−1 = 1 și f(0) = 2−0 = 2, deci f(1)·f(0) = 1·2 = 2.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul C(0, −4) la dreapta AB.
  • f(x) = 0 dă x = 2, deci A(2, 0); f(0) = 2, deci B(0, 2). Cum OA = OB = 2, triunghiul AOB este dreptunghic isoscel, deci ∠OBA = 45°. Punctele B și C sunt pe axa Oy, cu BC = 2−(−4) = 6. Fie T piciorul perpendicularei din C pe AB. Triunghiul BCT este dreptunghic în T, cu ∠CBT = 45°, deci este isoscel și CT = BC√2 = 6√2 = 3√2. Distanța de la C la dreapta AB este 3√2. (Verificare cu arii: aria triunghiului ABC este BC·OA2 = 6, AB = 2√2, deci d = 2·62√2 = 3√2.)

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 6 cm. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și punctul M este simetricul punctului A față de punctul G.

A B C G M T

a) (2p) Arată că măsura unghiului ACM este egală cu 90°.
  • M este simetricul lui A față de G, deci G este mijlocul segmentului AM și AG = GM = AM2. În triunghiul echilateral, centrul de greutate coincide cu centrul cercului circumscris, deci GC = GA = AM2. În triunghiul ACM, mediana CG este jumătate din latura AM, deci triunghiul ACM este dreptunghic în C: ∠ACM = 90°.

b) (3p) Bisectoarea unghiului AMC intersectează dreapta AC în punctul T. Arată că aria patrulaterului ABMT este egală cu 10√3 cm².
  • AG este pe mediana (și bisectoarea) din A, deci ∠CAM = 30°; în triunghiul dreptunghic ACM, ∠AMC = 60°, AM = 2·AG = 2·(23)·(6√32) = 4√3 cm și CM = AM2 = 2√3 cm. Bisectoarea dă ∠TMC = 30°, deci în triunghiul dreptunghic TCM, ∠MTC = 60° = ∠BAC, de unde TM ∥ AB. Din simetria față de dreapta AM, ∠ABM = ∠ACM = 90° și BM = CM = 2√3 cm, deci ABMT este trapez dreptunghic, cu bazele AB și TM și înălțimea BM. În triunghiul TCM, cateta TC se opune unghiului de 30°, deci TM = 2·TC; cum ∠TAM = ∠TMA = 30°, AT = TM, iar AT+TC = 6 dă 3·TC = 6, TC = 2 cm, TM = 4 cm. Aria: (AB+TM)·BM2 = (6+4)·2√32 = 10√3 cm².

5. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 8 cm. Punctul T aparține laturii AD, astfel încât măsura unghiului ABT este egală cu 30°. Perpendiculara din punctul A pe dreapta BT intersectează dreptele BT și DC în punctele M, respectiv S.

A B C D T S M

a) (2p) Demonstrează că segmentele AT și DS sunt congruente.
  • În triunghiul AMB, dreptunghic în M, ∠ABM = 30°, deci ∠MAB = 60°. Atunci ∠SAD = 90°−60° = 30°. Triunghiurile TBA și SAD sunt dreptunghice (în A, respectiv D), cu AB = DA și ∠ABT = ∠DAS = 30°, deci sunt congruente (cazul catetă–unghi ascuțit alăturat). Rezultă AT = DS.

b) (3p) Arată că DM > 2(4−√3) cm.
  • În triunghiul dreptunghic AMB, ∠ABM = 30°, deci AM = AB2 = 4 cm. Fie Q proiecția lui M pe AD. În triunghiul AMQ, dreptunghic în Q, ∠MAQ = 30°, deci MQ = AM2 = 2 cm și, din teorema lui Pitagora, AQ = √16−4 = √12 = 2√3 cm. Atunci DQ = AD−AQ = 8−2√3 = 2(4−√3) cm. În triunghiul MDQ, dreptunghic în Q, DM este ipotenuză, deci DM > DQ = 2(4−√3) cm.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul P este mijlocul segmentului C′C.

A B C D A′ B′ C′ D′ M P O

a) (2p) Arată că lungimea segmentului CM este egală cu 2√5 cm.
  • M este mijlocul lui AB, deci MB = 2 cm. În triunghiul CBM, dreptunghic în B, din teorema lui Pitagora: CM = √MB²+BC² = √4+16 = √20 = 2√5 cm.

b) (3p) Arată că măsura unghiului dreptelor BO și MP este egală cu 60°, unde A′C′ ∩ B′D′ = {O}.
  • Fie S mijlocul muchiei A′D′. O este centrul feței A′B′C′D′, deci SO ∥ A′B′ ∥ AB și SO = 2 cm = MB; așadar SOBM este paralelogram și BO ∥ MS. Atunci unghiul dreptelor BO și MP este unghiul dreptelor MS și MP. Triunghiurile SAM, MCP și PD′S sunt dreptunghice (în A, C, respectiv D′), cu catetele SA = MC = PD′ = 2√5 cm (ca la punctul a) și AM = CP = D′S = 2 cm, deci sunt congruente și SM = MP = PS = √20+4 = 2√6 cm. Triunghiul SMP este echilateral, deci ∠(BO, MP) = ∠SMP = 60°.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →