Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2026 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2026 la Matematică: simularea națională

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare martie 2026): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 12 − 8 : 4 este egal cu:

  1. A. 1
  2. B. 5
  3. C. 10
  4. D. 16
Vezi rezolvarea
  • Împărțirea se face înaintea scăderii: 8 : 4 = 2, apoi 12 − 2 = 10.

  • Răspuns

    C. 10

2. (5p) Din cei 26 de elevi ai unei clase, 50% sunt băieți. Numărul băieților din acea clasă este egal cu:

  1. A. 5
  2. B. 12
  3. C. 13
  4. D. 20
Vezi rezolvarea
  • 50% înseamnă jumătate: (50100)·26 = 26 : 2 = 13 băieți.

  • Răspuns

    C. 13

3. (5p) Cel mai mare număr natural din intervalul (23, 94] este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 2
  4. D. 9
Vezi rezolvarea
  • 23 ≈ 0,67 și 94 = 2,25. Numerele naturale din interval sunt 1 și 2, iar cel mai mare este 2.

  • Răspuns

    C. 2

4. (5p) Dacă 2x = 32, atunci 4x este egal cu:

  1. A. 3
  2. B. 34
  3. C. 6
  4. D. 83
Vezi rezolvarea
  • 4x = 2·(2x) = 2·(32) = 3.

  • Răspuns

    A. 3

5. (5p) Patru elevi, Alin, Mihai, Ioana și Maria, au calculat produsul numerelor a = 3 + 2√2 și b = 3 − 2√2. Rezultatele obținute sunt: Alin — 17, Mihai — 6, Ioana — 5, Maria — 1. Rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Alin
  2. B. Ioana
  3. C. Maria
  4. D. Mihai
Vezi rezolvarea
  • Folosim (m + n)(m − n) = m² − n²: a·b = 3² − (2√2)² = 9 − 8 = 1. Rezultatul corect l-a obținut Maria.

  • Răspuns

    C. Maria

6. (5p) Două pixuri și un caiet costă 20 de lei. Enunțul „Patru pixuri și două caiete, de același tip, costă 40 de lei.” este:

  1. A. adevărat
  2. B. fals
Vezi rezolvarea
  • Patru pixuri și două caiete înseamnă de două ori „două pixuri și un caiet”, deci costă 2·20 = 40 de lei. Enunțul este adevărat.

  • Răspuns

    A. adevărat

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât lungimea segmentului BC este jumătate din lungimea segmentului AB și lungimea segmentului CD este jumătate din lungimea segmentului BC. Dacă BC = 4 cm, atunci lungimea segmentului AD este egală cu:

A B C D
  1. A. 7 cm
  2. B. 12 cm
  3. C. 14 cm
  4. D. 20 cm
Vezi rezolvarea
  • BC = AB2, deci AB = 2·4 = 8 cm; CD = BC2 = 2 cm. Atunci AD = AB + BC + CD = 8 + 4 + 2 = 14 cm.

  • Răspuns

    C. 14 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare AOC și COB. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOC, iar măsura unghiului MOB este egală cu 145°. Măsura unghiului BOC este egală cu:

O A B C M
  1. A. 35°
  2. B. 70°
  3. C. 105°
  4. D. 110°
Vezi rezolvarea
  • Unghiurile AOC și COB sunt suplementare, deci ∠AOB = 180°. Atunci ∠AOM = 180° − 145° = 35°. OM fiind bisectoare, ∠AOC = 2·35° = 70°, iar ∠BOC = 180° − 70° = 110°.

  • Răspuns

    D. 110°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC și măsura unghiului BAC egală cu 36°. Punctul M aparține laturii AC, astfel încât AM = BM. Măsura unghiului MBC este egală cu:

A B C M
  1. A. 18°
  2. B. 36°
  3. C. 54°
  4. D. 72°
Vezi rezolvarea
  • În triunghiul isoscel ABC, ∠ABC = ∠ACB = (180° − 36°) : 2 = 72°. Din AM = BM, triunghiul ABM este isoscel, deci ∠ABM = ∠BAM = 36°. Atunci ∠MBC = 72° − 36° = 36°.

  • Răspuns

    B. 36°

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC. Dreptele AM și DC se intersectează în punctul P. Aria triunghiului ABP este egală cu:

A B C D M P
  1. A. 3 cm²
  2. B. 4 cm²
  3. C. 8 cm²
  4. D. 16 cm²
Vezi rezolvarea
  • Distanța de la P (situat pe dreapta DC) la dreapta AB este egală cu latura pătratului, 4 cm, deoarece DC ∥ AB. Atunci aria triunghiului ABP este AB·42 = 4·42 = 8 cm².

  • Răspuns

    C. 8 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru AB. Punctele C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt paralele și măsura unghiului BOC este egală cu 60°. Măsura unghiului BAD este egală cu:

A B O D C
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 120°
Vezi rezolvarea
  • Arcul BC măsoară 60°. Din CD ∥ AB, arcele cuprinse între coarde paralele sunt egale: arcul AD = arcul BC = 60°, deci arcul DC = 180° − 60° − 60° = 60°. Unghiul înscris BAD subîntinde arcul BD = arcul BC + arcul CD = 120°, deci ∠BAD = 120° : 2 = 60°.

  • Răspuns

    B. 60°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′, cu baza triunghiul echilateral ABC, cu AA′ = 3 cm și AB = 4 cm. Lungimea segmentului BC′ este egală cu:

A′ B′ C′ A B C
  1. A. 3 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 5 cm
  4. D. 7 cm
Vezi rezolvarea
  • Prisma fiind dreaptă, CC′ ⊥ BC și CC′ = AA′ = 3 cm, iar BC = AB = 4 cm. În triunghiul dreptunghic BCC′: BC′ = √BC² + CC′² = √16 + 9 = √25 = 5 cm.

  • Răspuns

    C. 5 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Pentru a putea așeza elevii unei clase câte doi în fiecare bancă, în această sală de clasă, ar mai trebui adusă încă o bancă în care să fie așezați doi elevi.

a) (2p) Verifică dacă în această clasă pot fi 25 de elevi. Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu e numărul elevilor și cu b numărul băncilor. Așezați câte doi, elevii ar ocupa b + 1 bănci, deci e = 2(b + 1), adică e este număr par. Cum 25 este număr impar, nu este posibil ca în această clasă să fie 25 de elevi.

b) (3p) Dacă elevii acestei clase se așază câte 4 în bancă, atunci într-una dintre bănci stau doar 2 elevi, iar 5 bănci rămân libere. Determină numărul băncilor din această clasă.
  • Sunt ocupate b − 5 bănci: b − 6 bănci cu câte 4 elevi și o bancă cu 2 elevi, deci e = 4(b − 6) + 2. Egalăm cu e = 2(b + 1): 2b + 2 = 4b − 22, de unde 2b = 24 și b = 12. În clasă sunt 12 bănci (și 26 de elevi).

2. Se consideră expresia E(x) = (1x² − 3x + 2 + 11 − x) : x² − 6x + 9x − 1, unde x este număr real, x ≠ 1, x ≠ 2 și x ≠ 3.

a) (2p) Arată că x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1), pentru orice număr real x.
  • x² − 3x + 2 = x² − x − 2x + 2 = x(x − 1) − 2(x − 1) = (x − 2)(x − 1), pentru orice număr real x.

b) (3p) Arată că numărul T = E(4) + E(5) + E(6) + E(7) este mai mic decât −√22.
  • Cum 11 − x = −x − 2(x − 2)(x − 1), paranteza devine 1 − x + 2(x − 2)(x − 1) = 3 − x(x − 2)(x − 1). Împărțirea la (x − 3)²x − 1 înseamnă înmulțire cu x − 1(x − 3)²: E(x) = 3 − x(x − 2)(x − 3)² = −1(x − 2)(x − 3). Atunci T = −(11·2 + 12·3 + 13·4 + 14·5) = −(1 − 15) = −45. Comparăm 45 cu √22: (45)² = 1625 = 0,64, iar (√22)² = 12 = 0,5, deci 45 > √22 și, prin urmare, T = −45 < −√22.

3. În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele A(2, 0) și B(10, 4).

a) (2p) Arată că AB = 4√5.
  • Punctul C(10, 0) este proiecția lui B pe axa Ox, deci AC = 10 − 2 = 8 și BC = 4. În triunghiul dreptunghic ACB: AB² = AC² + BC² = 64 + 16 = 80, deci AB = √80 = 4√5.

b) (3p) Determină coordonatele punctului M, situat pe axa Ox, aflat la distanțe egale față de punctele A și B.
  • Fie M(m, 0). Atunci MA² = (m − 2)², iar în triunghiul dreptunghic BCM, MB² = MC² + BC² = (10 − m)² + 16. Din MA = MB: (m − 2)² = (10 − m)² + 16, adică m² − 4m + 4 = m² − 20m + 116, de unde 16m = 112 și m = 7. Punctul căutat este M(7, 0).

4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât ABCD este pătrat, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul arcului mic AD, iar dreptele AD și BM se intersectează în punctul P.

A B C D M O P

a) (2p) Arată că MO = 2√2 cm.
  • Diagonala pătratului este BD = AB·√2 = 4√2 cm și este diametru al cercului, deci raza este OB = BD2 = 2√2 cm. Cum M este pe cerc, MO = OB = 2√2 cm.

b) (3p) Demonstrează că tangenta unghiului BPA este egală cu 1 + √2.
  • Fie Q punctul de intersecție a dreptelor OM și AD. Triunghiul OAD este isoscel (OA = OD), iar OM este bisectoarea unghiului AOD (M e mijlocul arcului AD), deci OQ este și înălțime, și mediană: OQ ⊥ AD, AQ = 2 cm, OQ = AB2 = 2 cm și MQ = MO − OQ = (2√2 − 2) cm. Cum MQ ⊥ AD și BA ⊥ AD, MQ ∥ AB, deci ΔMPQ ~ ΔBPA și PQPA = MQBA = 2√2 − 24. Atunci AQPA = PA + PQPA = 1 + 2√2 − 24 = 2 + 2√24, adică 2PA = 1 + √22. În triunghiul BAP, dreptunghic în A: tg(∠BPA) = BAPA = 4·(1 + √2)4 = 1 + √2.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AC, punctul P este proiecția punctului M pe dreapta BC și punctul Q este proiecția punctului P pe dreapta AB.

A B C M P Q

a) (2p) Arată că PC = 2 cm.
  • M este mijlocul lui AC, deci MC = AC2 = 4 cm. În triunghiul MPC, dreptunghic în P, ∠C = 60°, deci ∠PMC = 30°, iar cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: PC = MC2 = 2 cm.

b) (3p) Determină aria triunghiului MPQ.
  • BP = BC − PC = 8 − 2 = 6 cm. În triunghiul BQP, dreptunghic în Q, cu ∠B = 60°: PQ = BP·sin 60° = 6√32 = 3√3 cm, iar ∠BPQ = 30°. În triunghiul MPC: MP = MC·sin 60° = 2√3 cm. Cum ∠MPB = 90°, ∠MPQ = 90° − 30° = 60°. Fie QT ⊥ MP, T ∈ MP: QT = QP·sin 60° = 3√3·√32 = 92 cm. Aria triunghiului MPQ este MP·QT2 = 2√3·(9/2)2 = 9√32 cm².

6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCD, cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AD și punctul P este simetricul punctului B față de punctul M.

A B C D M P

a) (2p) Arată că CP = 6√2 cm.
  • BM și CM sunt mediane în triunghiurile echilaterale ABD și ACD, deci BM = CM = 6√32 = 3√3 cm. P este simetricul lui B față de M, deci PM = BM = CM, adică în triunghiul PCB mediana CM este jumătate din latura BP = 6√3 cm; prin urmare triunghiul PCB este dreptunghic în C. Atunci CP = √BP² − BC² = √108 − 36 = √72 = 6√2 cm.

b) (3p) Arată că sinusul unghiului dreptelor DP și CM este egal cu √336.
  • Fie E mijlocul segmentului BD. În triunghiul PDB, ME este linie mijlocie, deci ME ∥ DP și ∠(DP, CM) = ∠(ME, CM). Diagonalele patrulaterului ABDP se înjumătățesc în M, deci ABDP este paralelogram și DP = AB = 6 cm, de unde ME = DP2 = 3 cm. CE este mediană în triunghiul echilateral BCD, deci CE = 3√3 cm = CM, iar triunghiul MCE este isoscel. Fie CF ⊥ ME, F ∈ ME; F este mijlocul lui ME, MF = 32 cm și CF = √(3√3)² − (32)² = √27 − 94 = √994 = 3√112 cm. În triunghiul dreptunghic CFM: sin(∠CMF) = CFCM = (3√11)/23√3 = √112√3 = √336.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →