Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2025 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2025 la Matematică: simularea națională

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare martie 2025): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 25 − 2·5 este egal cu:

  1. A. 10
  2. B. 15
  3. C. 35
  4. D. 115
Vezi rezolvarea
  • Înmulțirea se face înaintea scăderii: 2·5=10, apoi 25−10=15.

  • Răspuns

    B. 15

2. (5p) Numărul care reprezintă 10% din 50 este egal cu:

  1. A. 1
  2. B. 5
  3. C. 10
  4. D. 40
Vezi rezolvarea
  • 10% din 50 înseamnă (10100)·50=500100=5.

  • Răspuns

    B. 5

3. (5p) Într-o zi, dimineața, temperatura aerului a fost de −1°C, iar la prânz a fost de +2°C. În acea zi, temperatura măsurată la prânz a fost mai mare decât temperatura măsurată dimineața cu:

  1. A. −1°C
  2. B. −3°C
  3. C. 1°C
  4. D. 3°C
Vezi rezolvarea
  • Diferența este 2−(−1)=2+1=3, deci la prânz temperatura a fost cu 3°C mai mare.

  • Răspuns

    D. 3°C

4. (5p) Soluția ecuației x + 14 = 12 este:

  1. A. 12
  2. B. 14
  3. C. 16
  4. D. 34
Vezi rezolvarea
  • x = 12 − 14 = 24 − 14 = 14.

  • Răspuns

    B. 14

5. (5p) Patru elevi, Andreea, Iris, Mihai și Radu, calculează media aritmetică a numerelor a=4−√2 și b=4+√2. Rezultatele obținute sunt: Andreea — 4, Iris — √2, Mihai — 2, Radu — √14. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media aritmetică a numerelor a și b este:

  1. A. Andreea
  2. B. Iris
  3. C. Mihai
  4. D. Radu
Vezi rezolvarea
  • a+b=4−√2+4+√2=8, deci media aritmetică este 82=4. Rezultatul corect l-a obținut Andreea.

  • Răspuns

    A. Andreea

6. (5p) În diagrama alăturată sunt prezentate informații despre numărul de elevi care au făcut opțiuni pentru practicarea sporturilor de tip fotbal, baschet, tenis și șah, în cadrul unui club sportiv școlar. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, în acest club sportiv școlar, numărul elevilor care au făcut opțiuni pentru practicarea fotbalului este egal cu numărul elevilor care au făcut opțiuni pentru practicarea șahului.” este:

Fotbal Baschet Tenis Șah 0 10 20 30 40 50 Număr de elevi
  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Din diagramă, 40 de elevi au ales fotbalul și 45 de elevi au ales șahul. Cum 40≠45, afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte și coliniare A, B, C și D, în această ordine. Segmentele AB, BC și CD sunt congruente, iar lungimea segmentului AD este egală cu 24 cm. Lungimea segmentului CD este egală cu:

A B C D
  1. A. 4 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 8 cm
  4. D. 12 cm
Vezi rezolvarea
  • AB=BC=CD=x și AD=AB+BC+CD=3x=24 cm, deci x=8 cm. Așadar CD=8 cm.

  • Răspuns

    C. 8 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare AOB și BOC. Știind că ∠BOC=60° și că semidreapta OD este opusă semidreptei OB, măsura unghiului DOC este egală cu:

O A C B D
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 120°
  4. D. 160°
Vezi rezolvarea
  • Unghiurile AOB și BOC sunt suplementare, deci ∠AOB=180°−60°=120°. Semidreptele OA, OC sunt opuse, iar OB, OD sunt opuse, deci unghiurile AOB și COD sunt opuse la vârf: ∠DOC=∠AOB=120°.

  • Răspuns

    C. 120°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC. Semidreapta BE este bisectoarea unghiului ABC și punctul D este mijlocul segmentului BC. Dreptele AD și BE se intersectează în punctul P. Măsura unghiului DPE este egală cu:

A B C D E P
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 120°
  4. D. 150°
Vezi rezolvarea
  • În triunghiul echilateral, mediana AD este și înălțime, deci AD⊥BC, iar ∠PBD=60°:2=30°. În triunghiul dreptunghic BDP, ∠BPD=90°−30°=60°. Unghiurile BPD și DPE sunt adiacente suplementare (B, P, E coliniare), deci ∠DPE=180°−60°=120°.

  • Răspuns

    C. 120°

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD, cu AB∥CD, CD=40 cm și AB=100 cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului ABCD este egală cu:

A B C D
  1. A. 20 cm
  2. B. 50 cm
  3. C. 70 cm
  4. D. 140 cm
Vezi rezolvarea
  • Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor: AB+CD2=100+402=1402=70 cm.

  • Răspuns

    C. 70 cm

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B sunt situate pe cerc, astfel încât măsura unghiului AOB este egală cu 60° și AB=12 cm. Aria discului de centru O și rază OA este egală cu:

O A B
  1. A. 24π cm²
  2. B. 36π cm²
  3. C. 144π cm²
  4. D. 288π cm²
Vezi rezolvarea
  • OA=OB (raze), deci triunghiul AOB este isoscel cu unghiul din vârf de 60°, adică echilateral: OA=AB=12 cm. Aria discului este π·OA²=π·12²=144π cm².

  • Răspuns

    C. 144π cm²

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDEFGH. Lungimea segmentului EG este egală cu 4√2 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu:

A B C D E F G H
  1. A. 16 cm
  2. B. 48 cm
  3. C. 72 cm
  4. D. 96 cm
Vezi rezolvarea
  • EG este diagonala unei fețe (pătratul EFGH), deci EG=l√2=4√2 cm, de unde muchia l=4 cm. Cubul are 12 muchii, iar suma lungimilor lor este 12·4=48 cm.

  • Răspuns

    B. 48 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Un bunic dorește să împartă suma de 126 de lei celor trei nepoți ai săi: Ana, Bogdan și Costin. Ana va primi jumătate din suma pe care o vor primi împreună Bogdan și Costin.

a) (2p) Verifică dacă Ana poate primi de la bunicul ei 40 de lei. Justifică răspunsul dat.
  • Dacă Ana ar primi 40 de lei, atunci Bogdan și Costin ar primi împreună 2·40=80 de lei. Suma totală ar fi 40+80=120 de lei și, cum 120≠126, Ana nu poate primi 40 de lei.

b) (3p) Determină suma pe care o va primi Bogdan de la bunicul său, știind că este cu 10% mai mare decât suma pe care o va primi Costin de la bunicul său.
  • Notăm cu b și c sumele primite de Bogdan, respectiv Costin. Ana primește b+c2, deci b+c2 + b + c = 126, adică 3(b+c)2=126 și b+c=84. Cum b=c+(10100)·c=(1110)·c, obținem (1110)·c+c=84, adică 21c=840, deci c=40 de lei. Bogdan primește b=84−40=44 de lei.

2. Se consideră expresia E(x)=(x−1x+1 + x+1x−1 − 2) : 4x²+x−2, unde x este număr real, x≠−2, x≠−1 și x≠1.

a) (2p) Arată că (x−1)(x+2)=x²+x−2, pentru orice număr real x.
  • (x−1)(x+2)=x(x+2)−(x+2)=x²+2x−x−2=x²+x−2, pentru orice număr real x.

b) (3p) Arată că numărul N=√E(2)·E(3)·…·E(9)·E(10) este natural.
  • Aducem paranteza la numitorul comun (x−1)(x+1): (x−1)² + (x+1)² − 2(x−1)(x+1)(x−1)(x+1) = ((x−1)−(x+1))²(x−1)(x+1) = 4(x−1)(x+1). Împărțirea la 4x²+x−2=4(x−1)(x+2) înseamnă înmulțirea cu (x−1)(x+2)4, deci E(x)=x+2x+1. Atunci E(2)·E(3)·…·E(10)=(43)·(54)·…·(1211)=123=4 (factorii se simplifică în lanț), deci N=√4=2, care este număr natural.

3. În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele A(2,0) și B(6,3).

a) (2p) Arată că AB=5.
  • Punctul C(6,0) este proiecția lui B pe axa Ox, deci AC=6−2=4 și BC=3. În triunghiul dreptunghic ACB, AB²=AC²+BC²=16+9=25, deci AB=√25=5.

b) (3p) Calculează distanța de la punctul M(5,0) la dreapta AB.
  • A și M sunt pe axa Ox, deci AM=5−2=3, iar distanța de la B la dreapta AM este BC=3. Aria triunghiului AMB este AM·BC2=3·32=92. Pe de altă parte, aria este AB·d(M,AB)2=5·d(M,AB)2. Din 5·d(M,AB)2=92 rezultă d(M,AB)=95=1,8.

4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB=10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AD și punctul N este proiecția punctului B pe dreapta CM.

A B C D M N

a) (2p) Arată că aria triunghiului MBC este egală cu 50 cm².
  • Aria pătratului ABCD este AB²=100 cm². AM=MD=5 cm, deci aria triunghiului CDM este 5·102=25 cm², la fel aria triunghiului ABM: 25 cm². Atunci aria MBC=100−(25+25)=50 cm². (Altfel: triunghiul MBC are baza BC=10 cm și înălțimea AB=10 cm, deci aria 10·102=50 cm².)

b) (3p) Arată că perimetrul triunghiului MAN este mai mic decât 22 cm.
  • Fie T punctul de intersecție a dreptelor AB și MC. Cum AM∥BC și AM=BC2, AM este linie mijlocie în triunghiul TBC, deci A este mijlocul lui TB și TB=20 cm. În triunghiul dreptunghic BNT, NA este mediană, deci NA=TB2=10 cm. TC=√TB²+BC²=√400+100=10√5 cm. Din teorema catetei în triunghiul TBC, BC²=CN·CT, deci CN=10010√5=2√5 cm. MC=TC2=5√5 cm, deci MN=5√5−2√5=3√5 cm. Perimetrul MAN este AM+MN+NA=5+3√5+10=(15+3√5) cm și, cum 3√5=√45 < √49=7, perimetrul este mai mic decât 15+7=22 cm.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB=9 cm și AC=12 cm. Punctul M se află pe latura AB, BM=3 cm. Paralela prin M la dreapta AC intersectează dreapta BC în punctul P, punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și E este punctul de intersecție a dreptelor AG și BC.

A B C M P E G

a) (2p) Arată că lungimea segmentului BC este egală cu 15 cm.
  • În triunghiul ABC, dreptunghic în A, din teorema lui Pitagora: BC=√AB²+AC²=√81+144=√225=15 cm.

b) (3p) Calculează aria patrulaterului MGEP.
  • G este centrul de greutate, deci AE este mediană, E este mijlocul lui BC și AGAE=23. Cum AM=9−3=6 cm, AMAB=69=23=AGAE, deci MG∥BE (reciproca teoremei lui Thales) și ΔAMG~ΔABE, de unde MGBE=23. BE=152 cm, deci MG=5 cm. Din MP∥AC, ΔBMP~ΔBAC: BPBC=BMBA=13, deci BP=5 cm și PE=BE−BP=7,5−5=2,5 cm. Fie MR⊥BC, R∈BC; din aria triunghiului BMP, cu BM=3, MP=AC3=4: MR=3·45=125 cm. MGEP este trapez (MG∥PE) cu înălțimea MR, deci aria lui este (MG+PE)·MR2=(5+5/2)·(12/5)2=9 cm².

6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat ABCD, cu AB=20 cm, iar punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv CD.

A B D C M N

a) (2p) Arată că lungimea segmentului MN este egală cu 10√2 cm.
  • CM și DM sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale ABC și ABD, deci CM=DM=20√32=10√3 cm. Triunghiul CMD este isoscel, iar MN este mediană, deci și înălțime: MN=√CM²−CN²=√300−100=√200=10√2 cm.

b) (3p) Determină măsura unghiului dreptelor MN și BD.
  • Fie P mijlocul lui BC. PN este linie mijlocie în triunghiul DBC, deci PN∥BD și PN=BD2=10 cm; așadar unghiul dreptelor MN și BD este unghiul MNP. MP este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci MP=AC2=10 cm. Cum MP²+PN²=100+100=200=MN², triunghiul MPN este dreptunghic isoscel, cu ∠MPN=90°, deci ∠MNP=45°. Măsura unghiului dreptelor MN și BD este 45°.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →