Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2026 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2026 la Matematică: simularea a II-a

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare a II-a 2026): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 39 − 9 : 3 este egal cu:

  1. A. 10
  2. B. 12
  3. C. 36
  4. D. 90
Vezi rezolvarea
  • Împărțirea se face înaintea scăderii: 9 : 3 = 3, apoi 39 − 3 = 36.

  • Răspuns

    C. 36

2. (5p) Cinci caiete de același fel costă 50 de lei. Prețul unui astfel de caiet este egal cu:

  1. A. 1 leu
  2. B. 5 lei
  3. C. 10 lei
  4. D. 50 de lei
Vezi rezolvarea
  • Prețul unui caiet este 50 : 5 = 10 lei.

  • Răspuns

    C. 10 lei

3. (5p) Cel mai mare număr natural din intervalul (−1, 6) este egal cu:

  1. A. −1
  2. B. 0
  3. C. 5
  4. D. 6
Vezi rezolvarea
  • Intervalul (−1, 6) este deschis, deci 6 nu îi aparține. Numerele naturale din interval sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, iar cel mai mare dintre ele este 5.

  • Răspuns

    C. 5

4. (5p) Fracția subunitară din mulțimea {52, 1516, 1615, 5} este:

  1. A. 5
  2. B. 52
  3. C. 1516
  4. D. 1615
Vezi rezolvarea
  • O fracție este subunitară când numărătorul este mai mic decât numitorul. Doar la 1516 avem 15 < 16; 52 și 1615 sunt supraunitare, iar 5 este mai mare decât 1.

  • Răspuns

    C. 1516

5. (5p) Patru elevi, Ana, Mihaela, Paul și Tudor, au calculat suma numerelor a = 3 + 2√2 și b = 3 − √8. Rezultatele obținute sunt: Ana — 17, Mihaela — 6, Paul — 5, Tudor — 1. Conform acestor informații, rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Ana
  2. B. Mihaela
  3. C. Paul
  4. D. Tudor
Vezi rezolvarea
  • √8 = √4·2 = 2√2, deci b = 3 − 2√2. Atunci a + b = 3 + 2√2 + 3 − 2√2 = 6. Rezultatul corect l-a obținut Mihaela.

  • Răspuns

    B. Mihaela

6. (5p) După o scumpire cu 10%, un obiect costă 110 lei. Ana afirmă: „Prețul inițial al acestui obiect este de 100 de lei.” Afirmația Anei este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Dacă prețul inițial este x, după scumpire obiectul costă x + (10100)·x = (110100)·x = 110, deci x = 100 de lei. Afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 20 cm, lungimea segmentului BC este jumătate din lungimea segmentului AB, iar punctul D este simetricul punctului B față de punctul C. Lungimea segmentului AD este egală cu:

A B C D
  1. A. 10 cm
  2. B. 30 cm
  3. C. 35 cm
  4. D. 40 cm
Vezi rezolvarea
  • BC = 20 : 2 = 10 cm. D este simetricul lui B față de C, deci CD = BC = 10 cm. Atunci AD = AB + BC + CD = 20 + 10 + 10 = 40 cm.

  • Răspuns

    D. 40 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele AB și CD, cu punctele A și D de o parte și de alta a dreptei BC. Măsura unghiului BCD este egală cu 45°. Măsura unghiului ABC este egală cu:

A B C D
  1. A. 45°
  2. B. 75°
  3. C. 135°
  4. D. 145°
Vezi rezolvarea
  • Dreptele AB și CD sunt paralele, iar BC este o secantă. Cum A și D sunt de o parte și de alta a lui BC, unghiurile ABC și BCD sunt alterne interne, deci congruente: ∠ABC = ∠BCD = 45°.

  • Răspuns

    A. 45°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC. Punctul E aparține laturii BC, astfel încât AE = CE și măsura unghiului BEA este egală cu 78°. Măsura unghiului CAB este egală cu:

A C E B
  1. A. 39°
  2. B. 78°
  3. C. 102°
  4. D. 141°
Vezi rezolvarea
  • ∠AEC = 180° − 78° = 102°. Triunghiul AEC este isoscel (AE = CE), deci ∠ECA = ∠EAC = (180° − 102°) : 2 = 39°. Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC, deci ∠ABC = ∠ACB = 39°, iar ∠CAB = 180° − 39° − 39° = 102°.

  • Răspuns

    C. 102°

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AD ⊥ AB, AB ∥ CD, AB = 8 cm, CD = 4 cm și AD = 4√3 cm. Aria trapezului ABCD este egală cu:

A B C D
  1. A. 8√3 cm²
  2. B. 24√3 cm²
  3. C. 32 cm²
  4. D. 40 cm²
Vezi rezolvarea
  • AD ⊥ AB, deci AD este înălțimea trapezului. Aria = (AB + CD)·AD2 = (8 + 4)·4√32 = 6·4√3 = 24√3 cm².

  • Răspuns

    B. 24√3 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru AB. Punctele C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt paralele și măsura unghiului BOC este egală cu 60°. Măsura unghiului ADC este egală cu:

A B O C D
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 110°
  4. D. 120°
Vezi rezolvarea
  • CD ∥ AB, deci ∠OCD = ∠BOC = 60° (alterne interne). Triunghiul OCD este isoscel (OC = OD) cu un unghi de 60°, deci echilateral: ∠COD = 60°, de unde ∠AOD = 180° − 60° − 60° = 60°. Unghiul ADC este înscris și cuprinde arcul AC care nu conține pe D, cu măsura 360° − 60° − 60° = 240°, deci ∠ADC = 240° : 2 = 120°.

  • Răspuns

    D. 120°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDEFGH. Măsura unghiului dreptelor BF și CD este egală cu:

A B C D E F G H
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°
Vezi rezolvarea
  • CD ∥ AB, deci unghiul dreptelor BF și CD este egal cu unghiul dreptelor BF și AB. Fața ABFE este pătrat, deci BF ⊥ AB, iar unghiul căutat are 90°.

  • Răspuns

    D. 90°

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Silvia a scris pe o foaie un număr natural pe care, dacă îl împarte la 5, obține restul 2, iar dacă îl împarte la 6 obține restul 3.

a) (2p) Este posibil ca numărul scris de Silvia să fie 158? Justifică răspunsul dat.
  • 158 = 5·31 + 3, deci la împărțirea lui 158 la 5 restul este 3. Cum 3 ≠ 2, nu este posibil ca numărul scris de Silvia să fie 158.

b) (3p) Silvia a scris pe foaie cel mai mic număr natural care îndeplinește condițiile din enunț. Determină acest număr.
  • Fie n numărul scris: n = 5a + 2 și n = 6b + 3, cu a, b numere naturale. Atunci n + 3 = 5a + 5 = 5(a + 1) și n + 3 = 6b + 6 = 6(b + 1), deci n + 3 este multiplu comun nenul al lui 5 și 6, adică multiplu de [5, 6] = 30. Cel mai mic n se obține pentru n + 3 = 30, deci n = 27. Verificare: 27 = 5·5 + 2 și 27 = 6·4 + 3.

2. Se consideră expresia E(x) = (x − 4x − 2 − 2 − xx − 4 − 2) : 1x − 2, unde x este număr real, x ≠ 2 și x ≠ 4.

a) (2p) Arată că x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4), pentru orice număr real x.
  • x² − 6x + 8 = x² − 2x − 4x + 8 = x(x − 2) − 4(x − 2) = (x − 2)(x − 4), pentru orice număr real x.

b) (3p) Determină suma soluțiilor ecuației E(x) = x + 412, unde x este număr real, x ≠ 2 și x ≠ 4.
  • Aducem la numitorul comun (x − 2)(x − 4): x − 4x − 2 − 2 − xx − 4 − 2 = (x − 4)² + (x − 2)² − 2(x − 2)(x − 4)(x − 2)(x − 4) = x² − 8x + 16 + x² − 4x + 4 − 2x² + 12x − 16(x − 2)(x − 4) = 4(x − 2)(x − 4). Împărțirea la 1x − 2 înseamnă înmulțire cu x − 2, deci E(x) = 4x − 4. Ecuația devine 4x − 4 = x + 412, adică (x − 4)(x + 4) = 48, x² − 16 = 48, x² = 64, deci x = −8 sau x = 8, care convin. Suma soluțiilor este −8 + 8 = 0.

3. În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele A(2, 0) și B(6, 3).

O A B 6 x y

a) (2p) Arată că AB = 5.
  • Punctul C(6, 0) este proiecția lui B pe axa Ox, deci AC = 6 − 2 = 4 și BC = 3. În triunghiul ACB, dreptunghic în C, AB² = AC² + BC² = 16 + 9 = 25, deci AB = √25 = 5.

b) (3p) Calculează aria triunghiului AOB.
  • Latura OA = 2 se află pe axa Ox, iar înălțimea corespunzătoare ei este distanța de la B la Ox, adică 3. Aria triunghiului AOB = OA·d(B, Ox)2 = 2·32 = 3.

4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care AB și CD sunt diametre perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și AB se intersectează în punctul N, DN = 6 cm și MN = 3 cm.

A B C D O N M

a) (2p) Arată că măsura unghiului BMN este egală cu 45°.
  • AB ⊥ CD, deci ∠BOD = 90° și arcul mic BD are 90°. Unghiul BMN = ∠BMD este înscris în cerc și cuprinde arcul BD (care nu conține pe M), deci ∠BMN = 90° : 2 = 45°.

b) (3p) Calculează aria discului cu centrul în O și rază OD.
  • Fie r = OD. CD este diametru, deci ∠DMC = 90°; de asemenea ∠NOD = 90°. Triunghiurile NOD și CMD au câte un unghi drept și unghiul D comun, deci sunt asemenea: NDCD = ODMD. Cu DN = 6, CD = 2r și MD = DN + NM = 9 obținem 62r = r9, adică 2r² = 54, r² = 27. Aria discului este π·r² = 27π cm².

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Punctul Q se află pe latura AB, astfel încât BQ = 2 cm. Paralela prin Q la dreapta AC intersectează dreapta BC în punctul P, punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și AG ∩ BC = {M}.

A B C Q P G M

a) (2p) Calculează lungimea segmentului BC.
  • În triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu teorema lui Pitagora: BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100, deci BC = 10 cm.

b) (3p) Determină perimetrul patrulaterului BQGP.
  • G este centrul de greutate, deci AM este mediană (M mijlocul lui BC, BM = 5 cm) și AGAM = 23. AQ = 6 − 2 = 4 cm, deci AQAB = 46 = 23 = AGAM; din reciproca teoremei lui Thales, QG ∥ BM, iar triunghiurile AQG și ABM sunt asemenea: QGBM = 23, deci QG = 103 cm. QP ∥ AC, deci triunghiurile BQP și BAC sunt asemenea: BPBC = BQBA = 13, deci BP = 103 cm. Cum QG ∥ BP și QG = BP, patrulaterul BQGP este paralelogram, iar perimetrul său este 2·(BQ + BP) = 2·(2 + 103) = 323 cm.

6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′, cu baza triunghiul echilateral ABC, AB = 12 cm și AA′ = 3√3 cm.

A B C A′ B′ C′ M

a) (2p) Calculează perimetrul triunghiului ABC.
  • Triunghiul ABC este echilateral cu latura de 12 cm, deci perimetrul său este 3·12 = 36 cm.

b) (3p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta MC′ și planul (B′BC), unde punctul M este mijlocul segmentului AB.
  • Ducem MN ⊥ BC, N ∈ BC. Prisma este dreaptă, deci BB′ ⊥ (ABC) și MN ⊥ BB′; cum BB′ ∩ BC = {B}, rezultă MN ⊥ (B′BC). Atunci proiecția lui MC′ pe planul (B′BC) este NC′, iar unghiul căutat este ∠MC′N. În triunghiul MNB, dreptunghic în N, MB = 6 cm și ∠B = 60°: MN = MB·sin 60° = 6·(√32) = 3√3 cm și BN = 3 cm, deci CN = 12 − 3 = 9 cm. În triunghiul C′CN, dreptunghic în C: C′N = √CC′² + CN² = √27 + 81 = √108 = 6√3 cm. Cum MN ⊥ C′N, triunghiul C′MN este dreptunghic în N, deci tg(∠MC′N) = MNC′N = 3√36√3 = 12.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →