Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2024 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2024 la Matematică: simularea națională

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Simulare februarie 2024): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 52 − 2·(25 − 5) este:

  1. A. 12
  2. B. 92
  3. C. 100
  4. D. 1000
Vezi rezolvarea
  • Întâi paranteza: 25 − 5 = 20. Apoi înmulțirea: 2·20 = 40. La final scăderea: 52 − 40 = 12.

  • Răspuns

    A. 12

2. (5p) Dacă x − 25 = y3, atunci rezultatul calculului 3x − 5y este:

  1. A. 0
  2. B. 2
  3. C. 5
  4. D. 6
Vezi rezolvarea
  • Din proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: 3(x − 2) = 5y, adică 3x − 6 = 5y. Rezultă 3x − 5y = 6.

  • Răspuns

    D. 6

3. (5p) Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {0, 2, 4, 6, 8}. Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea:

  1. A. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
  2. B. {0, 2, 4, 6, 8}
  3. C. {0, 2, 4, 6}
  4. D. {2, 4, 6}
Vezi rezolvarea
  • Intersecția conține elementele comune ambelor mulțimi: 2, 4 și 6 (0 și 8 nu sunt în A). Deci A ∩ B = {2, 4, 6}.

  • Răspuns

    D. {2, 4, 6}

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației 2x + 2 ≥ 4 este:

  1. A. (−∞, −1]
  2. B. (−∞, 1]
  3. C. [−1, +∞)
  4. D. [1, +∞)
Vezi rezolvarea
  • 2x ≥ 4 − 2 = 2, deci x ≥ 1. Mulțimea soluțiilor este [1, +∞).

  • Răspuns

    D. [1, +∞)

5. (5p) Patru elevi, Ana, Ioan, Dana și Vlad, determină numărul a = |2 − 4√3| + 2(√12 + 1). Rezultatele obținute sunt: Ana — 0, Ioan — 4, Dana — 4√3, Vlad — 8√3. Elevul care a determinat corect numărul a este:

  1. A. Ana
  2. B. Dana
  3. C. Ioan
  4. D. Vlad
Vezi rezolvarea
  • 4√3 = √48 > 2, deci |2 − 4√3| = 4√3 − 2. Cum √12 = 2√3, 2(√12 + 1) = 4√3 + 2. Atunci a = 4√3 − 2 + 4√3 + 2 = 8√3, rezultatul lui Vlad.

  • Răspuns

    D. Vlad

6. (5p) În diagrama alăturată sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei clase, la un test de matematică. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, jumătate din numărul elevilor acestei clase a obținut la testul de matematică cel puțin nota 8.” este:

4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 nota — numărul de elevi
  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • Din diagramă: nota 4 — 1 elev, nota 5 — 3, nota 6 — 6, nota 7 — 5, nota 8 — 5, nota 9 — 6, nota 10 — 4, în total 30 de elevi. Cel puțin nota 8 au obținut 5 + 6 + 4 = 15 elevi, adică jumătate din 30. Afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât BC = 2AB, CD = 2BC și AB = 2 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul N este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului MN este egală cu:

A M B C N D
  1. A. 4 cm
  2. B. 5 cm
  3. C. 7 cm
  4. D. 9 cm
Vezi rezolvarea
  • AB = 2 cm, BC = 4 cm, CD = 8 cm. MB = AB2 = 1 cm și CN = CD2 = 4 cm. Atunci MN = MB + BC + CN = 1 + 4 + 4 = 9 cm.

  • Răspuns

    D. 9 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare AOB și BOC. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOB și ∠BOC = 3·∠AOM. Măsura unghiului AOB este egală cu:

O A B M C
  1. A. 18°
  2. B. 36°
  3. C. 40°
  4. D. 54°
Vezi rezolvarea
  • Notăm ∠AOM = x. OM fiind bisectoare, ∠AOB = 2x, iar ∠BOC = 3x. Unghiurile fiind complementare, 2x + 3x = 90°, deci x = 18° și ∠AOB = 36°.

  • Răspuns

    B. 36°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = 10 cm și AC = 12 cm. Semidreapta BI este bisectoarea unghiului ABC și semidreapta CI este bisectoarea unghiului ACB. Paralela prin punctul I la dreapta BC intersectează dreptele AB și AC în punctele D, respectiv E. Perimetrul triunghiului ADE este egal cu:

A B C I D E
  1. A. 11 cm
  2. B. 20 cm
  3. C. 22 cm
  4. D. 24 cm
Vezi rezolvarea
  • DE ∥ BC, deci ∠DIB = ∠IBC (alterne interne) = ∠DBI, așadar triunghiul DBI e isoscel: DI = DB. Analog EI = EC. Perimetrul ADE = AD + DI + IE + AE = (AD + DB) + (AE + EC) = AB + AC = 10 + 12 = 22 cm.

  • Răspuns

    C. 22 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 3√2 cm și triunghiul BEC dreptunghic în E. Punctul F este mijlocul segmentului BC și EF = 4 cm. Aria trapezului AFCD este egală cu:

D C B A F E
  1. A. 6√2 cm²
  2. B. 12√2 cm²
  3. C. 18√2 cm²
  4. D. 24√2 cm²
Vezi rezolvarea
  • În triunghiul dreptunghic BEC, mediana EF este jumătate din ipotenuză: BC = 2·EF = 8 cm, deci AD = 8 cm și FC = 4 cm. Trapezul AFCD are bazele AD și FC și înălțimea AB: aria = (8 + 4)·3√22 = 18√2 cm².

  • Răspuns

    C. 18√2 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 3 cm. Punctul P este situat la o distanță de 6 cm de centrul cercului. Dreptele PA și PB sunt tangente la cerc în punctele A și B. Măsura arcului mic AB este egală cu:

O A B P
  1. A. 60°
  2. B. 90°
  3. C. 120°
  4. D. 150°
Vezi rezolvarea
  • OA ⊥ PA, deci triunghiul OAP e dreptunghic în A, cu cateta OA = 3 cm egală cu jumătate din ipotenuza OP = 6 cm; atunci ∠OPA = 30° și ∠AOP = 60°. Analog ∠BOP = 60°, deci ∠AOB = 120°, iar arcul mic AB măsoară 120°.

  • Răspuns

    C. 120°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, VA = AB și O este punctul de intersecție a dreptelor AC și DB. Dacă punctul M este mijlocul segmentului VB, atunci măsura unghiului dreptelor OM și CD este egală cu:

V D A B C O M
  1. A. 0°
  2. B. 30°
  3. C. 45°
  4. D. 60°
Vezi rezolvarea
  • O este mijlocul lui BD și M mijlocul lui VB, deci OM este linie mijlocie în triunghiul VBD: OM ∥ VD. Atunci unghiul dreptelor OM și CD este unghiul VDC. Cum VA = AB, toate muchiile piramidei sunt egale, deci triunghiul VDC e echilateral și ∠VDC = 60°.

  • Răspuns

    D. 60°

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți.

a) (2p) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat.
  • 53 = 18·2 + 17, deci la gruparea câte 18 ar rămâne 17 cărți, nu 5. Prin urmare, Maria nu poate avea în bibliotecă 53 de cărți.

b) (3p) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.
  • Fie n numărul cărților. n = 8·c₁ + 5 = 12·c₂ + 5 = 18·c₃ + 5, cu c₁, c₂, c₃ numere naturale, deci n − 5 este multiplu comun al numerelor 8, 12 și 18. Cum 8 = 2³, 12 = 2²·3 și 18 = 2·3², c.m.m.m.c.(8, 12, 18) = 2³·3² = 72, deci n = 72k + 5, k număr natural. Valorile posibile sunt 5, 77, 149, 221, …; cel mai mic număr de trei cifre este n = 149. Maria are 149 de cărți.

2. Se consideră expresia E(x) = (2x + 3)² + (x − 2)(x + 2) − 3(1 − x) + 2, unde x este număr real.

a) (2p) Arată că E(0) = 4.
  • E(0) = (2·0 + 3)² + (0 − 2)(0 + 2) − 3(1 − 0) + 2 = 9 − 4 − 3 + 2 = 4.

b) (3p) Arată că numărul N = E(n) + 6 este divizibil cu 10, pentru orice număr natural n.
  • E(n) = 4n² + 12n + 9 + n² − 4 − 3 + 3n + 2 = 5n² + 15n + 4, deci N = E(n) + 6 = 5n² + 15n + 10 = 5(n² + 3n + 2) = 5(n + 1)(n + 2). Numerele n + 1 și n + 2 sunt naturale consecutive, deci unul dintre ele este par și (n + 1)(n + 2) se divide cu 2. Atunci N se divide cu 5·2 = 10, pentru orice număr natural n.

3. Se consideră numărul natural de trei cifre abc (scris în baza 10), cu a, b, c cifre nenule, unde a = 5·(12 + 13 + 16) − (23):(13) și b = (3·3²·3³·3⁴):9⁴ − 25⁴:5⁷.

a) (2p) Arată că a = 3.
  • 12 + 13 + 16 = 36 + 26 + 16 = 1, iar (23):(13) = (23)·3 = 2. Atunci a = 5·1 − 2 = 3.

b) (3p) Determină numărul abc, știind că numerele de două cifre ac și cb sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.
  • 3·3²·3³·3⁴ = 3¹⁰ și 9⁴ = 3⁸, deci 3¹⁰:3⁸ = 9; 25⁴ = 5⁸, deci 5⁸:5⁷ = 5. Rezultă b = 9 − 5 = 4. Numărul ac este 3c, adică 30 + c, iar cb este c4, adică 10c + 4. Din proporționalitate: 30 + c4 = 10c + 43, deci 90 + 3c = 40c + 16, adică 37c = 74 și c = 2. Verificare: 324 = 243 = 8. Numărul este abc = 342.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC, cu ∠A = 90° și ∠B = 40°. Semidreapta BE este bisectoarea unghiului ABC, punctul E aparține segmentului AC. Perpendiculara din punctul A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D, iar perpendiculara din punctul E pe BC intersectează dreapta BC în punctul F. Dreptele BE și AD se intersectează în punctul M.

A B C E D F M

a) (2p) Arată că măsura unghiului EMA este egală cu 70°.
  • BE este bisectoarea unghiului ABC, deci ∠ABE = ∠EBC = 40°:2 = 20°. În triunghiul BMD, dreptunghic în D, ∠BMD = 90° − ∠MBD = 90° − 20° = 70°. Unghiurile BMD și EMA sunt opuse la vârf, deci ∠EMA = 70°.

b) (3p) Arată că patrulaterul AMFE este romb.
  • EF ⊥ BC și AD ⊥ BC, deci EF ∥ AD, adică EF ∥ AM. În triunghiul ABE, dreptunghic în A, ∠AEB = 90° − 20° = 70°, deci ∠AEM = ∠EMA = 70° și triunghiul EAM e isoscel: AE = AM. Triunghiurile dreptunghice EFB și EAB sunt congruente (ipotenuza BE comună, ∠EBF = ∠EBA = 20°), deci EF = EA. Așadar EF = AM și EF ∥ AM, deci AMFE este paralelogram, iar cum AE = AM (laturi alăturate egale), AMFE este romb.

5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu AB = 15 cm. Punctul P aparține laturii AB, astfel încât PB = 2AP și O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD.

A B C D P O N

a) (2p) Arată că lungimea segmentului AP este egală cu 5 cm.
  • P aparține laturii AB, deci AB = AP + PB = AP + 2AP = 3AP. Din 3AP = 15 cm obținem AP = 5 cm.

b) (3p) Determină raportul dintre aria triunghiului ANP și aria triunghiului DNO, unde N este punctul de intersecție a dreptelor AC și DP.
  • AP ∥ CD, deci ΔANP ~ ΔCND, cu ANCN = NPND = APCD = 515 = 13. Rezultă AN = AC4; cum O este mijlocul lui AC, AO = AC2, deci NO = AO − AN = AC4 = AN. Fie PS ⊥ AC (S ∈ AC) și DV ⊥ AC (V ∈ AC); din ΔSNP ~ ΔVND, PSDV = NPND = 13. Atunci aria ANP / aria DNO = (AN·PS)/2(NO·DV)/2 = (ANNO)·(PSDV) = 1·(13) = 13.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′. Punctele M, N, P și Q sunt mijloacele segmentelor AA′, A′D′, DD′, respectiv AD.

A B C D A′ B′ C′ D′ M N P Q T

a) (2p) Arată că MN = PQ.
  • În triunghiul AA′D′, M și N sunt mijloacele laturilor AA′ și A′D′, deci MN este linie mijlocie: MN ∥ AD′ și MN = AD′/2. În triunghiul ADD′, P și Q sunt mijloacele laturilor DD′ și AD, deci PQ este linie mijlocie: PQ ∥ AD′ și PQ = AD′/2. Rezultă MN = PQ.

b) (3p) Știind că punctul T este mijlocul segmentului PQ, demonstrează că dreapta CT este paralelă cu planul (MNB).
  • Din punctul a), MN ∥ AD′ și PQ ∥ AD′, deci MN ∥ PQ. M și P sunt mijloacele muchiilor AA′ și DD′, deci MP ∥ AD și MP = AD; cum AD ∥ BC și AD = BC, avem MP ∥ BC și MP = BC, deci MPCB este paralelogram și MB ∥ PC. Dreptele concurente MN și MB din planul (MNB) sunt paralele cu dreptele concurente PQ și PC din planul (PQC), deci (MNB) ∥ (PQC). Cum T ∈ PQ, dreapta CT este inclusă în planul (PQC), deci CT ∥ (MNB).

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →