Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2023 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2023 la Matematică: modelul M.E.N.

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Model M.E.N. 2023): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 64 − 56 : 8 este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 56
  4. D. 57
Vezi rezolvarea
  • Împărțirea se face înaintea scăderii: 56 : 8 = 7, apoi 64 − 7 = 57.

  • Răspuns

    D. 57

2. (5p) Știind că a3 = b4, atunci rezultatul calculului 4a − 3b este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 7
  4. D. 12
Vezi rezolvarea
  • Din proporția a3 = b4, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: 4a = 3b. Atunci 4a − 3b = 0.

  • Răspuns

    A. 0

3. (5p) Suma numerelor întregi din intervalul [−2022, 2022] este egală cu:

  1. A. −2021
  2. B. −2022
  3. C. 0
  4. D. 2022
Vezi rezolvarea
  • Numerele întregi din interval sunt −2022, −2021, …, −1, 0, 1, …, 2021, 2022. Fiecare număr se grupează cu opusul său: (−2022 + 2022) + (−2021 + 2021) + … + (−1 + 1) + 0 = 0.

  • Răspuns

    C. 0

4. (5p) În tabelul de mai jos este prezentată situația notelor obținute de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală, la un test de matematică: nota 5 — 6 elevi; nota 6 — 9 elevi; nota 7 — 12 elevi; nota 8 — 15 elevi; nota 9 — 12 elevi; nota 10 — 6 elevi. Media notelor obținute de elevii claselor a VIII-a din această școală la testul de matematică este egală cu:

  1. A. 6,00
  2. B. 7,60
  3. C. 7,90
  4. D. 8,60
Vezi rezolvarea
  • Numărul elevilor: 6 + 9 + 12 + 15 + 12 + 6 = 60. Suma notelor: 5·6 + 6·9 + 7·12 + 8·15 + 9·12 + 10·6 = 30 + 54 + 84 + 120 + 108 + 60 = 456. Media este 456 : 60 = 7,60.

  • Răspuns

    B. 7,60

5. (5p) Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor a = |√2 − √3| și b = |√3 + √2|, iar rezultatele obținute sunt: Ioana — −1, Mara — 5 − 2√6, Petrică — 1, Ștefan — 5 + 2√6. Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Ioana
  2. B. Mara
  3. C. Petrică
  4. D. Ștefan
Vezi rezolvarea
  • Cum √2 < √3, avem a = √3 − √2, iar b = √3 + √2. Atunci a·b = (√3 − √2)(√3 + √2) = 3 − 2 = 1. Rezultatul corect l-a obținut Petrică.

  • Răspuns

    C. Petrică

6. (5p) O mașină se deplasează în intervalul orar 12:56 − 14:26 cu o viteză medie de 80 kmh. Mihai afirmă că, în acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu 200 km. Afirmația lui Mihai este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă
Vezi rezolvarea
  • De la 12:56 la 14:26 trec 1 oră și 30 de minute, adică 1,5 ore. Distanța parcursă este 80 · 1,5 = 120 km, nu 200 km, deci afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 7 cm și BC = 9 cm. Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB, iar punctul N este mijlocul segmentului BC, lungimea segmentului MN este egală cu:

A M B N C
  1. A. 8 cm
  2. B. 11,5 cm
  3. C. 12,5 cm
  4. D. 16 cm
Vezi rezolvarea
  • MB = AB2 = 3,5 cm și BN = BC2 = 4,5 cm. Cum B este între M și N, MN = MB + BN = 3,5 + 4,5 = 8 cm (adică jumătate din AC = 16 cm).

  • Răspuns

    A. 8 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOC și BOD. Măsura unghiului AOB este egală cu 120°. Măsura unghiului BOD este egală cu:

O A D C B
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 120°
Vezi rezolvarea
  • Punctele A, O, D sunt coliniare, deci unghiurile AOB și BOD sunt adiacente suplementare: ∠BOD = 180° − ∠AOB = 180° − 120° = 60°.

  • Răspuns

    B. 60°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 6 cm și măsura unghiului B este egală cu 60°. Lungimea segmentului AB este egală cu:

A B C
  1. A. 2√3 cm
  2. B. 3 cm
  3. C. 3√2 cm
  4. D. 3√3 cm
Vezi rezolvarea
  • În triunghiul dreptunghic ABC, ∠C = 90° − 60° = 30°. Cateta AB se opune unghiului de 30°, deci AB = BC2 = 3 cm. (Altfel: AB = BC·cos 60° = 6·(12) = 3 cm.)

  • Răspuns

    B. 3 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AD = BD și cu măsura unghiului DAB egală cu 45°. Măsura unghiului CBD este egală cu:

A B C D
  1. A. 45°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 135°
Vezi rezolvarea
  • Triunghiul ABD este isoscel cu AD = BD, deci ∠DBA = ∠DAB = 45° și ∠ADB = 180° − 45° − 45° = 90°. Cum AD ∥ BC, unghiurile ADB și CBD sunt alterne interne, deci ∠CBD = ∠ADB = 90°.

  • Răspuns

    C. 90°

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul AMB, cu AB = 8√2 cm, înscris într-un cerc care are raza egală cu 8 cm. Măsura unghiului AMB este egală cu:

A B M
  1. A. 15°
  2. B. 30°
  3. C. 45°
  4. D. 60°
Vezi rezolvarea
  • Fie O centrul cercului. În triunghiul AOB, OA = OB = 8 cm și AB = 8√2 cm, iar OA² + OB² = 64 + 64 = 128 = AB², deci ∠AOB = 90° (reciproca teoremei lui Pitagora). Unghiul înscris AMB subîntinde arcul AB de 90°, deci ∠AMB = 90° : 2 = 45°.

  • Răspuns

    C. 45°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un con circular drept care are secțiunea axială un triunghi echilateral cu înălțimea egală cu 6 cm. Generatoarea conului are lungimea egală cu:

C A B O
  1. A. 2√3 cm
  2. B. 4√3 cm
  3. C. 6 cm
  4. D. 12 cm
Vezi rezolvarea
  • Secțiunea axială este triunghiul echilateral ABC cu latura egală cu generatoarea G. Înălțimea triunghiului echilateral este G·√32 = 6, deci G = 12√3 = 12·√33 = 4√3 cm.

  • Răspuns

    B. 4√3 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs 30% din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de 72 km.

a) (2p) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu x lungimea traseului. În prima zi a parcurs (30100)·x = (310)·x, iar în a doua zi (13)·(310)·x = x10. O pătrime din traseu înseamnă x4 și, cum x10 ≠ x4 (x > 0), nu este posibil ca distanța parcursă în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea traseului.

b) (3p) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.
  • Distanțele parcurse în cele trei zile dau tot traseul: (30100)·x + x10 + 72 = x. Înmulțind cu 10: 3x + x + 720 = 10x, adică 4x + 720 = 10x, deci 6x = 720 și x = 120. Lungimea traseului este 120 km (verificare: 36 + 12 + 72 = 120).

2. Se consideră expresia E(x) = (2x−2 + xx+2) : x²+4x²−x−2, unde x este număr real, x ≠ −2, x ≠ −1 și x ≠ 2.

a) (2p) Arată că E(x) = x+1x+2, pentru orice număr real x, x ≠ −2, x ≠ −1 și x ≠ 2.
  • Aducem la numitorul comun (x−2)(x+2): 2x−2 + xx+2 = 2(x+2) + x(x−2)(x−2)(x+2) = 2x + 4 + x² − 2x(x−2)(x+2) = x²+4(x−2)(x+2). Cum x² − x − 2 = (x−2)(x+1), împărțirea devine înmulțire cu inversa: E(x) = x²+4(x−2)(x+2) · (x−2)(x+1)x²+4 = x+1x+2.

b) (3p) Determină numerele întregi a pentru care E(a) ∈ ℤ.
  • E(a) = a+1a+2 = a + 2 − 1a+2 = 1 − 1a+2. Pentru a întreg, E(a) ∈ ℤ dacă și numai dacă 1a+2 ∈ ℤ, adică a + 2 este un divizor întreg al lui 1: a + 2 ∈ {−1, 1}. Obținem a = −3 sau a = −1. Cum −1 nu aparține domeniului, singura valoare este a = −3 (verificare: E(−3) = −2−1 = 2 ∈ ℤ).

3. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 2.

a) (2p) Rezolvă ecuația 3·f(x) = −4 − 2x.
  • 3·(x + 2) = −4 − 2x, adică 3x + 6 = −4 − 2x. Atunci 5x = −10, deci x = −2.

b) (3p) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul C este simetricul punctului A față de punctul B, determină coordonatele punctului C.
  • f(x) = 0 ⇒ x = −2, deci A(−2, 0); f(0) = 2, deci B(0, 2). C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul segmentului AC. Dacă C(x, y), atunci −2 + x2 = 0 și 0 + y2 = 2, de unde x = 2 și y = 4. Așadar C(2, 4). (Altfel: dacă T este proiecția lui C pe Ox, OB este linie mijlocie în triunghiul ATC, deci CT = 2·OB = 4 și OT = AO = 2.)

4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu AB = 4 cm și triunghiul echilateral ABP.

A B C D P M

a) (2p) Arată că măsura unghiului DPB este egală cu 45°.
  • ∠PAD = ∠PAB + ∠BAD = 60° + 90° = 150°. Cum AP = AB = AD = 4 cm, triunghiul APD este isoscel, deci ∠ADP = ∠APD = 180° − 150°2 = 15°. Atunci ∠DPB = ∠APB − ∠APD = 60° − 15° = 45°.

b) (3p) Demonstrează că AM = 4(2 − √3) cm, unde {M} = AB ∩ PD.
  • Fie PQ ⊥ AB, Q ∈ AB. În triunghiul echilateral APB, PQ este înălțime și mediană, deci PQ = 4√32 = 2√3 cm și AQ = 2 cm. Cum PQ ∥ AD (ambele perpendiculare pe AB), triunghiurile DAM și PQM sunt asemenea, deci ADPQ = AMMQ. Cu MQ = 2 − AM: 42√3 = AM2 − AM, adică 2√3·AM = 8 − 4·AM, deci AM·(4 + 2√3) = 8 și AM = 84 + 2√3 = 42 + √3 = 4(2 − √3)(2 + √3)(2 − √3) = 4(2 − √3) cm.

5. În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu AB ∥ CD, AB = 6 cm și CD = 4 cm. Punctele R, S și T sunt mijloacele laturilor AD, AB, respectiv BC.

A B C D R S T

a) (2p) Arată că lungimea segmentului RT este egală cu 5 cm.
  • R și T sunt mijloacele laturilor neparalele AD și BC, deci RT este linia mijlocie a trapezului ABCD: RT = AB + CD2 = 6 + 42 = 5 cm.

b) (3p) Arată că aria patrulaterului DRST este egală cu jumătate din aria trapezului ABCD.
  • Fie DQ ⊥ AB, Q ∈ AB, înălțimea trapezului, și {P} = DQ ∩ RT. Cum RT ∥ AB, DP și PQ sunt distanțele de la D, respectiv de la S, la dreapta RT, iar aria trapezului este AB + CD2 · DQ = RT·DQ. Atunci aria DRST = aria DRT + aria RST = RT·DP2 + RT·PQ2 = RT·(DP + PQ)2 = RT·DQ2, adică jumătate din aria trapezului ABCD.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu D′C′ = 6 cm.

A B C D A′ B′ C′ D′ O O′

a) (2p) Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu 216 cm³.
  • Muchia cubului este D′C′ = 6 cm, deci V = D′C′³ = 6³ = 216 cm³.

b) (3p) Demonstrează că dreapta OO′ este perpendiculară pe planul (A′D′C), unde {O} = AC ∩ BD și {O′} = BC′ ∩ B′C.
  • O este mijlocul diagonalei AC, iar O′ este mijlocul diagonalei B′C a pătratului BCC′B′. În triunghiul AB′C, OO′ este linie mijlocie, deci OO′ ∥ AB′. În pătratul ABB′A′, diagonalele sunt perpendiculare: AB′ ⊥ A′B. Muchia A′D′ este perpendiculară pe planul (ABB′A′), deci AB′ ⊥ A′D′. Cum A′D′ ∥ BC și A′D′ = BC, A′D′CB este dreptunghi, deci dreapta A′B este în planul (A′D′C). Așadar AB′ este perpendiculară pe două drepte concurente din plan, A′B și A′D′ (A′B ∩ A′D′ = {A′}), deci AB′ ⊥ (A′D′C). Cum OO′ ∥ AB′, rezultă OO′ ⊥ (A′D′C).

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →