Sisteme de ecuații liniare la BAC
28 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Matrice, determinanți și sisteme liniare.
Cum rezolvi
Calculezi determinantul sistemului: dacă e nenul, sistemul are soluție unică (regula lui Cramer). Pentru o soluție dată, înlocuiești în ecuații și afli parametrul.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 27 · M2: 1
2026 5 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a111−1a321 și sistemul de ecuații liniare ax + y + z = 2ax − y + az = −43x + 2y + z = 8, unde a este număr real.
Considerăm (x₁, y₁, z₁) soluția sistemului de ecuații liniare pentru a = 1. Pentru a = 2, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului de ecuații liniare pentru care x₀y₀ = y₁.
-
BAC 2026, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1aaa3a021 și sistemul de ecuații liniare x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0, unde a este număr real.
Arătați că, pentru orice număr real a, sistemul de ecuații are soluție unică.
-
BAC 2026, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 1aaa3a021 și sistemul de ecuații liniare x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0, unde a este număr real.
Determinați numărul natural nenul a pentru care sistemul de ecuații are soluția (x₀,y₀,z₀), cu z₀=nx₀, unde n este număr natural.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1a−2a2−1−a1−a0 și sistemul de ecuații liniare x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a, unde a este număr real.
Pentru a=1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 1a−2a2−1−a1−a0 și sistemul de ecuații liniare x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a, unde a este număr real.
Arătați că, pentru orice a∈R\{0,1}, sistemul de ecuații are soluție unică (x₀,y₀,z₀) și 4x₀z₀=1.
2025 4 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a1−a31−21−3a și sistemul de ecuații ax + y − az = 13x + y − 2z = 1x − 3y + az = −3, unde a este număr real.
Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul are soluție unică.
-
BAC 2025, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a1−a31−21−3a și sistemul de ecuații ax + y − az = 13x + y − 2z = 1x − 3y + az = −3, unde a este număr real.
Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₁, y₁, z₁) și (x₂, y₂, z₂) ale sistemului de ecuații pentru care y₁ = x₂ și z₁ = y₂.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a12aa1011−a și sistemul de ecuații ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1, unde a este număr real.
Pentru a = 1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a12aa1011−a și sistemul de ecuații ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care sistemul de ecuații are soluția unică (x₀,y₀,z₀) și x₀ = a.
2023 5 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a121a−1221 și sistemul de ecuații ax + y + 2z = −2x + ay − z = 42x + 2y + z = 2, unde a este număr real.
Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
-
BAC 2023, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a121a−1221 și sistemul de ecuații ax + y + 2z = −2x + ay − z = 42x + 2y + z = 2, unde a este număr real.
Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀, y₀ și z₀ sunt numere întregi și x₀ > y₀ > z₀.
-
BAC 2023, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a−12a1−2a111−a și sistemul de ecuații ax − y + 2az = 0x − 2y + az = 0x + y + (1 − a)z = 0, unde a este număr real.
Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
-
BAC 2023, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a−12a1−2a111−a și sistemul de ecuații ax − y + 2az = 0x − 2y + az = 0x + y + (1 − a)z = 0, unde a este număr real.
Pentru a = −1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀² + y₀² + z₀² = 3.
-
BAC 2023, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 2121−1aaa+1−2 și sistemul de ecuații 2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a, unde a este număr real.
Pentru a = −2, arătați că x₀z₀ + y₀ = −2, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații.
2022 1 cerință
-
BAC 2022, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 13a21−1a31 și sistemul de ecuații x + 3y + az = 22x + y − z = −1ax + 3y + z = 1, unde a este număr real.
Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ ≤ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații, cu x₀, y₀ și z₀ numere reale.
2021 3 cerințe
-
BAC 2021, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră sistemul de ecuații ax + (a+1)y + (a+2)z = abx + (b+1)y + (b+2)z = by + z = 1 și matricea X(a,b) = aa+1a+2bb+1b+2011, unde a și b sunt numere reale.
Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte a și b, sistemul de ecuații are soluție unică.
-
BAC 2021, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră sistemul de ecuații ax + (a+1)y + (a+2)z = abx + (b+1)y + (b+2)z = by + z = 1 și matricea X(a,b) = aa+1a+2bb+1b+2011, unde a și b sunt numere reale.
Demonstrați că, dacă (x₀, y₀, z₀) este soluție a sistemului de ecuații, atunci y₀² − z₀² − 2ax₀ = 3, pentru orice număr real a.
-
BAC 2021, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a1−22132a−121 și sistemul de ecuații ax + y − 2z = 22x + y + 3z = 1(2a−1)x + 2y + z = a, unde a este număr real.
Pentru a = 3, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului de ecuații pentru care z₀² = x₀ + y₀.
2020 2 cerințe
-
BAC 2020, model · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a21a411−1a și sistemul de ecuații ax + 2y + z = 4ax + 4y + z = 6x − y + az = 1, unde a este număr real.
Determinați numărul real a, știind că sistemul are soluție unică (x₀, y₀, z₀) și x₀² + y₀² + z₀² = 3.
-
BAC 2020, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 12−aaa11a2a−5a−2 și sistemul de ecuații x + (2 − a)y + az = 1ax + y + z = 2 − aax + (2a − 5)y + (a − 2)z = −4, unde a este număr real.
Determinați numărul natural a pentru care sistemul are soluție unică (x₀, y₀, z₀) și x₀, y₀, z₀ sunt numere naturale.
2019 4 cerințe
-
BAC 2019, model · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea M(m) = 124−1m−1m13 și sistemul de ecuații x + 2y + 4z = 5−x + my − z = −2mx + y + 3z = 4, unde m este număr real.
Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unică.
-
BAC 2019, model · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea M(m) = 124−1m−1m13 și sistemul de ecuații x + 2y + 4z = 5−x + my − z = −2mx + y + 3z = 4, unde m este număr real.
Pentru m = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care 4y₀² = (x₀ + z₀)².
-
BAC 2019, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 2a132a−11a−3a1 și sistemul de ecuații 2x + ay + z = 13x + (2a−1)y + z = 1(a−3)x + ay + z = 2a−1, unde a este număr real.
Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀² = y₀z₀.
-
BAC 2019, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a111−a−111a și sistemul de ecuații ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2, unde a este număr real.
Pentru a = 0, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma (x₀, y₀, z₀) cu x₀, y₀ și z₀ numere întregi.
2018 2 cerințe
-
BAC 2018, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea M(a) = 111a+1−1111−a și sistemul de ecuații x + y + z = 2(a+1)x − y + z = 0x + y − az = 1, unde a este număr real.
Determinați numerele reale a, știind că sistemul are soluție unică (x₀, y₀, z₀) și 2x₀ + y₀z₀ = 0.
-
BAC 2018, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea M(m) = 2m1112m1112m și sistemul de ecuații 2mx + y + z = −1x + 2my + z = 0x + y + 2mz = 1, unde m este număr real.
Pentru m = −1, demonstrați că, dacă (a,b,c) este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele a, b și c este întreg.
2017 2 cerințe
-
BAC 2017, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 11212a−2−13 și sistemul de ecuații x + y + 2z = 0x + 2y + az = 0−2x − y + 3z = 0, unde a este număr real.
Determinați valorile reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică.
-
BAC 2017, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 11212a−2−13 și sistemul de ecuații x + y + 2z = 0x + 2y + az = 0−2x − y + 3z = 0, unde a este număr real.
Demonstrați că, dacă sistemul are soluția (x₀, y₀, z₀), cu x₀, y₀ și z₀ numere reale nenule, atunci −x₀ + y₀ + z₀ = 11(x₀ + y₀ + z₀).