Proprietăți ale matricelor A(x) la BAC
61 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Matrice, determinanți și sisteme liniare.
Cum rezolvi
Calculezi produsul (sau suma) pentru x și y oarecare, linie × coloană, și arăți că rezultatul are forma cerută, de exemplu A(x + y).
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 16 · M2: 27 · M3: 18
2026 3 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1a−a1−a, unde a este număr real.
Arătați că A(a + b) − A(a)·A(b) = abA(1), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2026, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1−2aa02a1−a0001−3a, unde a este număr real.
Arătați că A(a)·A(b) = A(a + b − 3ab), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 20xx−3, unde x este număr real.
Determinați numerele reale a și b pentru care suma elementelor matricei A(x)·A(a) este egală cu b, pentru orice număr real x.
2025 5 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = x+1−x−2x2x+1, unde x este număr real.
Arătați că A(−1)·A(x) = A(−2x − 1), pentru orice număr real x.
-
BAC 2025, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 0100 și B(x) = 2x3x+11−x1, unde x este număr real.
Arătați că B(−x) + 2B(x) = 3B(x3), pentru orice număr real x.
-
BAC 2025, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și M(x) = 2x3x−3−x−2x100x+1, unde x este număr real.
Arătați că M(x)·M(y) − xyI₃ = (x + y + 1)M(0), pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2025, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 2−3x0x020−9x02+3x, unde x este număr real.
Arătați că A(x)·A(y) = 2A(x+y), pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1−x3x−x1+4x, unde x este număr real.
Arătați că xA(y) − A(xy) = (x−1)I₂, pentru orice numere reale x și y.
2024 6 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 36−1−2 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că A·X(a) = (a + 1)A, pentru orice număr real a.
-
BAC 2024, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 36−1−2 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că X(m)·X(n) = X(m + n + mn), pentru orice numere reale m și n.
-
BAC 2024, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1a−10a, unde a este număr real.
Arătați că A(a)·A(b) = A(ab), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2024, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+222a−6, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a) + A(−a) = 2A(0), pentru orice număr real a.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 000010001 și B(x) = 2ˣ0001x0x1, unde x este număr real.
Arătați că B(x)·B(y) − B(x + y) = xyA, pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+1−11a−1, unde a este număr real.
Demonstrați că I₂ + A(a − 1) = A(a), pentru orice număr real a.
2023 4 cerințe
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1−aa−3a3a+1, unde a este număr real.
Arătați că A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂), pentru orice număr real a.
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = aa+3−12, unde a este număr real.
Arătați că A(a) + A(−a) = 2A(0), pentru orice număr real a.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 3+a2−2a1−a1+3a, unde a este număr real.
Arătați că A(0)·(A(a) − A(0)) = aI₂, pentru orice număr real a.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = xxx1x1−1−x−1, unde x este număr real.
Arătați că A(x)·A(y) − A(xy) = (x + y − 2)A(0), pentru orice numere reale x și y.
2022 8 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 13a21−1a31 și sistemul de ecuații x + 3y + az = 22x + y − z = −1ax + 3y + z = 1, unde a este număr real.
Arătați că B(a)·B(a)·B(a) = a³B(1), pentru orice număr real a, unde B(a) = A(a) − A(0).
-
BAC 2022, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001, O₃ = 000000000 și A(x) = x+1−x0x1−x0001, unde x este număr real.
Arătați că (A(x) − I₃)(A(x) − I₃) = O₃, pentru orice număr real x.
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea M(x) = x+1−x−2x2x+1, unde x este număr real.
Arătați că M(x)·M(1) = M(4x + 1), pentru orice număr real x.
-
BAC 2022, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A(x, y) = xy12, B = 12−10 și I₂ = 1001, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că A(2x, 0) + A(0, 2x) = 2A(x, x), pentru orice număr real x.
-
BAC 2022, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 1−xx²01−2x001, unde x este număr real.
Arătați că A(x)·A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1−1−11, I₂ = 1001 și B(x) = x3−x2−xx, unde x este număr real.
Arătați că B(x) − B(0) = xA, pentru orice număr real x.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = x1−x11−xx1110, unde x este număr real.
Arătați că A(1)·A(x) − A(x − 1) = 2I₃, pentru orice număr real x.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 55−4−4 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că X(a)·X(−1) = X(−1), pentru orice număr real a.
2021 8 cerințe
-
BAC 2021, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 2a−14a−41−a3−2a, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a)·A(b) = A(a + b − 1), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2021, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră a un număr real nenul și matricea A(x) = 1+2x0−4x0a0x01−2x, unde x este număr real.
Determinați numărul real nenul a astfel încât A(x)·A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2021, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 24−1−2, B = −2−613 și M(x) = A + xB, unde x este număr real.
Demonstrați că M(x)·M(1) = xM(1), pentru orice număr real x.
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele A = 13−11, I₂ = 1001 și B(n) = A·A·…·A (de n ori A), unde n este număr natural nenul.
Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n, matricea B(6n) are toate elementele numere naturale.
-
BAC 2021, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(a) = a+20−a0203a02−3a, unde a este număr real.
Determinați matricea B ∈ M₃(R), știind că aB = A(a) − 2I₃, pentru orice număr real a.
-
BAC 2021, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 1−1−24, I₂ = 1001 și B(x) = x−2−x−2x4x−2, unde x este număr real.
Arătați că xA − 2I₂ = B(x), pentru orice număr real x.
-
BAC 2021, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = 1−1−24, I₂ = 1001 și B(x) = x−2−x−2x4x−2, unde x este număr real.
Arătați că B(xy) − xB(y) = 2(x − 1)I₂, pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 16−2−7 și B(x) = 2x+2x−2−2, unde x este număr real.
Arătați că B(x)·B(x) = x²I₂, pentru orice număr real x.
2020 5 cerințe
-
BAC 2020, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a,b) = a2b−ba, unde a și b sunt numere reale.
Demonstrați că A(a,b)·A(b,a) = A(−ab, a² + b²), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2020, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricea A(a) = 1a01, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a)·A(b) = A(a + b), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 101+ln x0x0001, unde x ∈ (0,+∞).
Demonstrați că A(x)A(y) = A(y)A(x), pentru orice x, y ∈ (0,+∞).
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a+111a−1, unde a este număr real.
Arătați că A(a)·A(−a) = (2 − a²)I₂, pentru orice număr real a, unde I₂ = 1001.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele A = 12−11, I₂ = 1001 și B(x) = 1x01, unde x este număr real.
Arătați că B(x)·B(y) = B(x + y), pentru orice numere reale x și y.
2019 10 cerințe
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a+10001ln(a+1)001, unde a este număr real, a > 0.
Demonstrați că A(a)A(b) = A(ab + a + b), pentru orice numere reale a și b, a > 0, b > 0.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1133 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că M(a)M(b) = M(a + b + 4ab), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2019, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a0−a020−a0a, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a)A(b) = 2A(ab), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a4−4a, unde a este număr real.
Demonstrați că A(2019 − a) + A(2019 + a) = 2A(2019), pentru orice număr real a.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 6−103−5, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că M(a)·M(b) = M(a + b + ab), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(a) = a+1001a100a+1, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a)A(b) = abI₃ + (a + b + 1)A(0), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1+4a−6a2a1−3a, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a)A(b) = A(a + b + ab), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1234 și M(a) = 1+a−aa1−a, unde a este număr real.
Demonstrați că M(a)·M(b) = M(a + b), pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricea A(a) = 1−2a2a−3a1+3a, unde a este număr real.
Demonstrați că A(a)·A(−1) = A(−1)·A(a) = A(−1), pentru orice număr real a.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele M = −12−6−9 și A(a) = a+1a+2a−2a+1, unde a este număr real.
Demonstrați că A(−a) + A(a) = 2A(0), pentru orice număr real a.
2018 7 cerințe
-
BAC 2018, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(m) = 12mm+1, unde m este număr real.
Demonstrați că A(m) + A(−m) = 2A(0), pentru orice număr real m.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea X(a,b) = ab9ba, unde a și b sunt numere reale.
Demonstrați că X(a,b)X(c,d) = X(ac + 9bd, ad + bc), pentru orice numere reale a, b, c și d.
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x+2x1−2, unde x este număr real.
Demonstrați că xA(y) − yA(x) = (x − y)A(0), pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea X(a) = a51a, unde a este număr real.
Demonstrați că X(−a) + X(a) = X(−2018) + X(2018), pentru orice număr real a.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 1x−2001000eˣ⁻², unde x este număr real.
Demonstrați că A(x)A(y) = A(x + y − 2), pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = −3−232 și M(x) = I₂ + xA, unde x este număr real.
Demonstrați că M(x) − M(2018) = M(−2018) − M(−x), pentru orice număr real x.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = −24−12, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că M(a)·M(b) = M(a + b), pentru orice numere reale a și b.
2017 5 cerințe
-
BAC 2017, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(m) = m−1−12m−2, unde m este număr real.
Demonstrați că A(1 + m) + A(1 − m) = 2A(1), pentru orice număr real m.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 0xx0, unde x este număr real.
Demonstrați că A(x)A(y) = xyI₂, pentru orice numere reale x și y, unde I₂ = 1001.
-
BAC 2017, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricea A(a) = a243, unde a este număr real.
Demonstrați că A(−a) + A(a) = 2A(0), pentru orice număr real a.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 12x+551, unde x este număr real.
Demonstrați că A(x) + A(−x) = A(2017) + A(−2017), pentru orice număr real x.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 00xx000x0, unde x este număr real.
Demonstrați că A(x)A(y)A(z) = xyzI₃, pentru orice numere reale x, y și z.