Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2018 (Proba E.c) — sesiunea specială 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 7 și a₃ = 15.

Într-o progresie aritmetică, termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor: a₂ = a₁ + a₃2.
a₂ = 7 + 152 = 11.
Răspuns
a₂ = 11
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x + 2. Determinați numerele naturale n, pentru care f(n) < 8.

3n + 2 < 8 ⇔ 3n < 6 ⇔ n < 2.
Cum n este număr natural, n = 0 sau n = 1.
Răspuns
n ∈ {0, 1}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² − 1 = x + 1.

Ridicând la pătrat: x² − 1 = (x + 1)² = x² + 2x + 1, deci 2x + 2 = 0 și x = −1.
Verificare: √1 − 1 = 0 = −1 + 1, deci x = −1 convine.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii {0, 1, 2, 3, 4}.

Mulțimea are 5 elemente, deci numărul submulțimilor cu 3 elemente este C(5,3).
C(5,3) = 5!3!·2! = 5·42 = 10.
Răspuns
10 submulțimi
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreptele d₁: y = x2 + 2 și d₂: y = (m − 3)x + 1, unde m este număr real. Determinați numărul real m, pentru care dreptele d₁ și d₂ sunt perpendiculare.

Pantele sunt m₁ = 12 și m₂ = m − 3.
Dreptele sunt perpendiculare ⇔ m₁·m₂ = −1 ⇔ (12)(m − 3) = −1 ⇔ m − 3 = −2 ⇔ m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că, dacă sin2x = 12, atunci (sin x + cos x)² = 32.

(sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x·cos x + cos²x = 1 + sin2x.
Cum sin2x = 12, obținem (sin x + cos x)² = 1 + 12 = 32.
Răspuns
(sin x + cos x)² = 32
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea X(a,b) = ab9ba, unde a și b sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(X(3,1)) = 0.

X(3,1) = 3193, deci det(X(3,1)) = 3193 = 3·3 − 9·1 = 9 − 9 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că X(a,b)X(c,d) = X(ac + 9bd, ad + bc), pentru orice numere reale a, b, c și d.

X(a,b)X(c,d) = ab9ba·cd9dc = ac+9bdad+bc9bc+9ad9bd+ac.
Acesta este ac+9bdad+bc9(ad+bc)ac+9bd = X(ac + 9bd, ad + bc).
Răspuns
X(a,b)X(c,d) = X(ac + 9bd, ad + bc)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile de numere întregi (m, n) pentru care det(X(m,n)) = 1.

det(X(m,n)) = m² − 9n² = (m − 3n)(m + 3n).
(m − 3n)(m + 3n) = 1 cu factori întregi: fie m − 3n = m + 3n = 1, fie m − 3n = m + 3n = −1.
În ambele cazuri 6n = 0, deci n = 0, iar m = 1, respectiv m = −1.
Răspuns
(m, n) ∈ {(−1, 0), (1, 0)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = 2X³ − 4X² − 7X + m, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 9, arătați că f(1) = 0.

Pentru m = 9: f(1) = 2·1³ − 4·1² − 7·1 + 9 = 2 − 4 − 7 + 9 = 0.
Răspuns
f(1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu X + √2.

f e divizibil cu X + √2 ⇔ f(−√2) = 0.
f(−√2) = 2·(−2√2) − 4·2 − 7·(−√2) + m = −4√2 − 8 + 7√2 + m = 3√2 − 8 + m.
3√2 − 8 + m = 0, deci m = 8 − 3√2.
Răspuns
m = 8 − 3√2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m, știind că suma a două rădăcini ale polinomului f este egală cu 1.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 42 = 2.
Dacă x₁ + x₂ = 1, atunci x₃ = 1, deci f(1) = 0.
f(1) = 2 − 4 − 7 + m = m − 9 = 0, deci m = 9.
Răspuns
m = 9
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)eˣ + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = xeˣ, x∈R.

f'(x) = (x − 1)'·eˣ + (x − 1)·(eˣ)' = eˣ + (x − 1)eˣ.
f'(x) = eˣ(1 + x − 1) = xeˣ.
Răspuns
f'(x) = xeˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.

limx→−∞ (x − 1)eˣ = limx→−∞ x − 1e⁻ˣ = limx→−∞ 1−e⁻ˣ = 0 (l'Hôpital, cazul ∞/∞).
Deci limx→−∞ f(x) = 0 + 1 = 1, iar dreapta y = 1 este asimptotă orizontală spre −∞.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ⁿ√e ≤ nn − 1, pentru orice număr natural n, n ≥ 2.

f'(x) = xeˣ ≥ 0 pe [0, +∞), deci f e crescătoare pe [0, +∞); cum f(0) = −1 + 1 = 0, avem f(x) ≥ 0 pentru orice x ≥ 0.
Pentru x = 1n: f(1n) ≥ 0, adică (1n − 1)e^1/n + 1 ≥ 0, deci (n − 1n)·e^1/n ≤ 1.
Cum n − 1n > 0, obținem e^1/n ≤ nn − 1, adică ⁿ√e ≤ nn − 1.
Răspuns
ⁿ√e ≤ nn − 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:[2,+∞)→R, f(x) = x√x − 2.