Acasă / Subiecte rezolvate / 2022 / Rezolvare M2 științe ale naturii

Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (august) 2022 (Proba E.c) — august 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că media aritmetică a numerelor a = 20 − √21 și b = 22 + √21 este egală cu 21.
  • a + b = 20 − √21 + 22 + √21 = 42.
  • Media aritmetică: a + b2 = 422 = 21.

  • Răspuns

    21

  • Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x − 1 și g:R→R, g(x) = 3 − x. Arătați că f(a) + g(a) = 2, pentru orice număr real a.
  • f(a) + g(a) = (a − 1) + (3 − a) = 2, pentru orice număr real a.

  • Răspuns

    f(a) + g(a) = 2

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √7x − 6 = x.
  • Ridicând la pătrat: 7x − 6 = x², adică x² − 7x + 6 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 6.
  • Verificare: √1 = 1 și √36 = 6, deci ambele convin.

  • Răspuns

    x = 1 sau x = 6

  • Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4}.
  • Numărul e par, deci cifra unităților e 2 sau 4: 2 moduri.
  • Cifra zecilor poate fi oricare din 1, 2, 3, 4: 4 moduri, deci 2·4 = 8 numere.

  • Răspuns

    8

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6, 0) și B(6, 6). Arătați că triunghiul AOM este isoscel, unde punctul M este mijlocul segmentului OB.
−1123456−1123456xyOA(6, 0)B(6, 6)M(3, 3)
  • M, mijlocul lui OB, are coordonatele (3, 3).
  • OM = √3² + 3² = 3√2 și AM = √(6 − 3)² + (0 − 3)² = 3√2.
  • OM = AM, deci triunghiul AOM e isoscel.

  • Răspuns

    OM = AM = 3√2

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât AC = 4 și măsura unghiului B este egală cu 60°. Arătați că înălțimea din vârful A a triunghiului ABC are lungimea egală cu 2.
60°4ABC
  • Măsura unghiului ACB este 180° − 90° − 60° = 30°.
  • Dacă AD e înălțimea din A, triunghiul ACD e dreptunghic în D, cu unghiul C de 30°: cateta opusă lui e jumătate din ipotenuză, AD = AC2 = 2.

  • Răspuns

    AD = 2

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1−xxx+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 3.
  • A(1) = 1−112.
  • det(A(1)) = 1·2 − (−1)·1 = 2 + 1 = 3.

  • Răspuns

    det(A(1)) = 3

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(−1)·A(2) − A(−1) = 2I₂.
  • A(−1) = 11−10 și A(2) = 1−223, deci A(−1)·A(2) = 31−12.
  • A(−1)·A(2) − A(−1) = 2002 = 2I₂.

  • Răspuns

    A(−1)·A(2) − A(−1) = 2I₂

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(−x) + xA(x) = 3I₂.
  • A(x)·A(−x) = 1+x²x²−x²1 și xA(x) = x−x²x²x²+x.
  • Suma: 1+x+x²001+x+x² = (x² + x + 1)I₂.
  • (x² + x + 1)I₂ = 3I₂ ⇔ x² + x − 2 = 0, deci x = −2 sau x = 1.

  • Răspuns

    x = −2 sau x = 1

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 4(xy + 1) − 3(x + y).

a) (5p) Arătați că 1 ∘ 2 = 3.
  • 1 ∘ 2 = 4(1·2 + 1) − 3(1 + 2) = 12 − 9 = 3.

  • Răspuns

    1 ∘ 2 = 3

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că, dacă a ∘ 3 = 4, atunci a ∘ (−a) = 0.
  • a ∘ 3 = 4(3a + 1) − 3(a + 3) = 9a − 5.
  • 9a − 5 = 4, deci a = 1.
  • a ∘ (−a) = 1 ∘ (−1) = 4(−1 + 1) − 3(1 − 1) = 0.

  • Răspuns

    a ∘ (−a) = 0

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care (x ∘ 1) ∘ (x − 1) ≤ 4.
  • x ∘ 1 = 4(x + 1) − 3(x + 1) = x + 1.
  • (x + 1) ∘ (x − 1) = 4((x + 1)(x − 1) + 1) − 3·2x = 4x² − 6x.
  • 4x² − 6x ≤ 4 ⇔ 2x² − 3x − 2 ≤ 0 ⇔ (2x + 1)(x − 2) ≤ 0, deci x∈[−12, 2].

  • Răspuns

    x∈[−12, 2]

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x² + x + 3 − 5ln x.

Vezi graficul funcției f
123456204060xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x − 1)(4x + 5)x, x∈(0, +∞).
  • f'(x) = 4x + 1 − 5x = 4x² + x − 5x.
  • 4x² + x − 5 = (x − 1)(4x + 5), deci f'(x) = (x − 1)(4x + 5)x.

  • Răspuns

    f'(x) = (x − 1)(4x + 5)x

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(x) + 5ln x3 − x − x² = −2.
  • f(x) + 5ln x = 2x² + x + 3, deci limita este limx→+∞ 2x² + x + 33 − x − x².
  • Împărțind la x²: limx→+∞ 2 + 1/x + 3/x²3/x² − 1/x − 1 = 2−1 = −2.

  • Răspuns

    −2

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 2x² + x ≥ 3 + 5ln x, pentru orice x∈(0, +∞).
  • f'(x) = 0 ⇔ x = 1; f'(x) ≤ 0 pe (0, 1], deci f e descrescătoare, și f'(x) ≥ 0 pe [1, +∞), deci f e crescătoare.
  • Deci f(x) ≥ f(1) = 2 + 1 + 3 − 0 = 6, pentru orice x > 0.
  • 2x² + x + 3 − 5ln x ≥ 6, adică 2x² + x ≥ 3 + 5ln x.

  • Răspuns

    f(x) ≥ f(1) = 6

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (3 − 2x)eˣ.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−11234−224xy

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] f(x)eˣ dx = 2.
  • f(x)eˣ = 3 − 2x.
  • ∫[0,1] (3 − 2x) dx = [3x − x²] de la 0 la 1 = 3 − 1 = 2.

  • Răspuns

    2

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că ∫[0,2] f(x) dx = e² − 5.
  • Prin părți, cu (eˣ)' = eˣ și (3 − 2x)' = −2: ∫[0,2] (3 − 2x)eˣ dx = [(3 − 2x)eˣ] de la 0 la 2 + ∫[0,2] 2eˣ dx.
  • [(3 − 2x)eˣ] de la 0 la 2 = −e² − 3, iar ∫[0,2] 2eˣ dx = 2e² − 2.
  • Integrala: −e² − 3 + 2e² − 2 = e² − 5.

  • Răspuns

    e² − 5

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați a∈(−∞, 1) pentru care ∫[a,1] e3xf³(x) dx = 29.
  • f³(x) = (3 − 2x)³e3x, deci integrala este ∫[a,1] 1(3 − 2x)³ dx (pe [a, 1], 3 − 2x > 0).
  • O primitivă a lui 1(3 − 2x)³ este 14(3 − 2x)², deci integrala este 14 − 14(3 − 2a)².
  • 14 − 14(3 − 2a)² = 29 ⇔ 1(3 − 2a)² = 19 ⇔ (3 − 2a)² = 9, adică 3 − 2a = 3 sau 3 − 2a = −3.
  • a = 0 sau a = 3; cum a∈(−∞, 1), a = 0.

  • Răspuns

    a = 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →