Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 științe ale naturii, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din simularea 2025 (Simularea națională a clasei a XII-a — 25.03.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2i(6 − i) + 3(1 − 4i) = 5, unde i² = −1.

2i(6 − i) + 3(1 − 4i) = 12i − 2i² + 3 − 12i = −2i² + 3.
−2·(−1) + 3 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 5. Determinați numărul real a pentru care (f∘f)(a) = 2a.

f(a) = a + 5, deci (f∘f)(a) = f(a + 5) = a + 10.
a + 10 = 2a, de unde a = 10.
Răspuns
a = 10
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² + 4x − 4 = x√2.

Membrul drept trebuie să fie nenegativ, deci x ≥ 0. Ridicând la pătrat: x² + 4x − 4 = 2x², adică x² − 4x + 4 = 0.
(x − 2)² = 0, deci x = 2, care convine (√8 = 2√2).
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul 2ⁿ să fie divizibil cu 16.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
16 = 2⁴, deci 2ⁿ e divizibil cu 16 ⇔ n ≥ 4: n∈{4, 5, 6, 7, 8, 9}, adică 6 cazuri favorabile.
p = 610 = 35.
Răspuns
p = 35
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 1) și B(2, 4). Arătați că triunghiul OAB este dreptunghic în A.

Panta lui OA: 13; panta lui AB: 4 − 12 − 3 = −3.
Produsul pantelor e (13)·(−3) = −1, deci OA ⊥ AB: triunghiul OAB e dreptunghic în A.
Răspuns
OA ⊥ AB
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = sin x + 2cos 2x + 2sin²(x2), unde x este număr real. Arătați că E(π2) = 0.

Pentru x = π2: sin(π2) = 1, cos π = −1 și sin(π4) = √22.
E(π2) = 1 + 2·(−1) + 2·(√22)² = 1 − 2 + 2·(24) = 0.
Răspuns
E(π2) = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x+1−x−2x2x+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 4.

A(1) = 2−1−23.
det(A(1)) = 2·3 − (−1)·(−2) = 6 − 2 = 4.
Răspuns
det(A(1)) = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(−1)·A(x) = A(−2x − 1), pentru orice număr real x.

A(−1) = 012−1, deci A(−1)·A(x) = −2x2x+14x+2−4x−1.
A(−2x − 1) = (−2x−1)+1−(−2x−1)−2(−2x−1)2(−2x−1)+1 = −2x2x+14x+2−4x−1.
Deci A(−1)·A(x) = A(−2x − 1).
Răspuns
A(−1)·A(x) = A(−2x − 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale, cu m < n, pentru care A(−1)·(A(m) + A(n)) = 2A(−4).

Din b): A(−1)·(A(m) + A(n)) = A(−2m − 1) + A(−2n − 1).
Elementele lui A(x) sunt de gradul întâi în x, deci A(p) + A(q) = 2A(p + q2): suma este 2A(−m − n − 1).
2A(−m − n − 1) = 2A(−4) ⇔ m + n = 3, iar cu m < n naturale: (0, 3) și (1, 2).
Răspuns
(0, 3) și (1, 2)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x·3ʸ + y·3ˣ.

a) (5p) Arătați că 1 ∘ 2 = 15.

1 ∘ 2 = 1·3² + 2·3¹ = 9 + 6 = 15.
Răspuns
1 ∘ 2 = 15
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x ∘ 0 = x·3⁰ + 0·3ˣ = x, pentru orice x real.
0 ∘ x = 0·3ˣ + x·3⁰ = x, pentru orice x real, deci e = 0 e elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real nenul x pentru care x ∘ (3x) = (2x) ∘ (2x).

x ∘ (3x) = x·3³ˣ + 3x·3ˣ = x·3ˣ(3²ˣ + 3), iar (2x) ∘ (2x) = 2·2x·3²ˣ = 4x·3²ˣ.
Împărțind la x·3ˣ ≠ 0: 3²ˣ + 3 = 4·3ˣ, adică (3ˣ − 3)(3ˣ − 1) = 0.
3ˣ = 3 dă x = 1; 3ˣ = 1 dă x = 0, exclus. Deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣx² + 3x + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x² + x)(x² + 3x + 3)², x∈R.

f'(x) = eˣ(x² + 3x + 3) − eˣ(2x + 3)(x² + 3x + 3)².
Numărătorul: eˣ(x² + 3x + 3 − 2x − 3) = eˣ(x² + x).
Răspuns
f'(x) = eˣ(x² + x)(x² + 3x + 3)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(x) = +∞.

Limita e de forma ∞/∞; regula lui l'Hôpital: limx→+∞ eˣ2x + 3, tot ∞/∞.
Încă o dată: limx→+∞ eˣ2 = +∞.
Răspuns
+∞
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) − f(y) ≤ 3 − e3e, pentru orice numere reale x și y, cu x ≤ 0 ≤ y.

f'(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 0; f e crescătoare pe (−∞, −1], descrescătoare pe [−1, 0] și crescătoare pe [0, +∞).
Pentru x ≤ 0: f(x) ≤ f(−1) = e⁻¹1 = 1e. Pentru y ≥ 0: f(y) ≥ f(0) = 13.
f(x) − f(y) ≤ 1e − 13 = 3 − e3e.
Răspuns
f(x) − f(y) ≤ 1e − 13
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 4x + 1 + 3x·ln x.