Rezolvare BAC 2025 Matematică M3 pedagogic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din simularea 2025 (Simularea națională a clasei a XII-a — 25.03.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √5(2√5 + √10) − 2 − 5√2 = 8.

√5·2√5 = 10 și √5·√10 = √50 = 5√2.
10 + 5√2 − 2 − 5√2 = 8.
Răspuns
8
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 3x − 1 și g:R→R, g(x) = x + 7. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g.

Punctul de intersecție: f(x) = g(x), adică 3x − 1 = x + 7.
2x = 8, deci x = 4.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3³ˣ·(13³) = 9ˣ.

3³ˣ·(13³) = 3³ˣ⁻³ și 9ˣ = 3²ˣ, deci 3x − 3 = 2x.
x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu 70% din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă 10% din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de 900 de lei.

70% din 900: (70100)·900 = 630 de lei.
Ieftinire cu încă 10% din 630: 630 − (10100)·630 = 630 − 63 = 567 de lei.
Răspuns
567 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 5), B(5, 3), C(8, 4) și D, mijlocul segmentului AB. Arătați că triunghiul ODC este isoscel.

D, mijlocul lui AB, este D(3, 4).
OD = √3² + 4² = 5 și DC = √(8 − 3)² + (4 − 4)² = 5.
OD = DC, deci triunghiul ODC e isoscel.
Răspuns
OD = DC = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 4 și sin B = 13. Arătați că AC = √2.

sin B = ACBC = 13, deci BC = 3AC.
Din teorema lui Pitagora: 4² + AC² = 9AC², deci AC² = 2 și AC = √2.
Răspuns
AC = √2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x + y − xy6 + 1.

1. (5p) Arătați că 2 ∘ 3 = 5.

2 ∘ 3 = 2 + 3 − 2·36 + 1 = 5 − 1 + 1 = 5.
Răspuns
2 ∘ 3 = 5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că x ∘ y = 7 − (16)(x − 6)(y − 6), pentru orice numere reale x și y.

(16)(x − 6)(y − 6) = xy − 6x − 6y + 366 = xy6 − x − y + 6.
7 − (xy6 − x − y + 6) = x + y − xy6 + 1 = x ∘ y.
Răspuns
x ∘ y = 7 − (16)(x − 6)(y − 6)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care x ∘ 4 = 4.

x ∘ 4 = x + 4 − 4x6 + 1 = x3 + 5.
x3 + 5 = 4, de unde x = −3.
Răspuns
x = −3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m < n, pentru care m ∘ n = 16.

Din 2: 7 − (16)(m − 6)(n − 6) = 16, deci (m − 6)(n − 6) = 41.
41 e prim, deci m − 6 și n − 6 sunt 1 și 41 sau −41 și −1 (cu m < n).
(m, n) = (7, 47) sau (m, n) = (−35, 5).
Răspuns
(−35, 5) și (7, 47)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (0 ∘ x) ∘ (x + 1) = 1.

0 ∘ x = x + 1, deci (0 ∘ x) ∘ (x + 1) = (x + 1) ∘ (x + 1) = 7 − (16)(x − 5)².
7 − (16)(x − 5)² = 1 ⇔ (x − 5)² = 36, deci x = −1 sau x = 11.
Răspuns
x = −1 sau x = 11
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați tripletele (a, b, c) de numere reale, știind că numerele a, b și c sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația 6 și b ∘ c = −5.

a = b − 6 și c = b + 6.
b ∘ c = 7 − (16)(b − 6)(c − 6) = 7 − (16)(b − 6)b = −5, deci b² − 6b − 72 = 0.
b = 12 sau b = −6, deci tripletele sunt (6, 12, 18) și (−12, −6, 0).
Răspuns
(6, 12, 18) și (−12, −6, 0)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 0100 și B(x) = 2x3x+11−x1, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det(B(1)) = 2.

B(1) = 2401.
det(B(1)) = 2·1 − 4·0 = 2.
Răspuns
det(B(1)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că B(1)·B(2) − B(2) = 11A.

B(2) = 47−11, deci B(1)·B(2) = 418−11.
B(1)·B(2) − B(2) = 01100 = 11A.
Răspuns
B(1)·B(2) − B(2) = 11A
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real a pentru care det(B(−1) + aA) = 0.

B(−1) + aA = −2−2+a21, deci det(B(−1) + aA) = −2 − 2(a − 2) = 2 − 2a.
2 − 2a = 0, de unde a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că B(−x) + 2B(x) = 3B(x3), pentru orice număr real x.

B(−x) = −2x−3x+11+x1, deci B(−x) + 2B(x) = 2x3x+33−x3.
3B(x3) = 3·2x3x+11−x31 = 2x3x+33−x3.
Deci B(−x) + 2B(x) = 3B(x3).
Răspuns
B(−x) + 2B(x) = 3B(x3)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care A·(B(x) + I₂) = B(x)·A.

B(x) + I₂ = 2x+13x+11−x2, deci A·(B(x) + I₂) = 1−x200.
B(x)·A = 02x01−x.
Egalitatea cere 1 − x = 0 și 2 = 2x, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Arătați că, pentru orice numere întregi m și n, numărul N = det(B(2m) − B(2n + 1)) este natural, multiplu impar de 3.

B(2m) − B(2n + 1) = 4m−4n−26m−6n−31−2m+2n0.
N = 0 − (6m − 6n − 3)(1 − 2m + 2n) = 3(1 − 2m + 2n)(1 − 2m + 2n) = 3(1 − 2m + 2n)².
1 − 2m + 2n e impar, deci pătratul lui e natural impar: N e natural, multiplu impar de 3.
Răspuns
N = 3(1 − 2m + 2n)²
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri