Rezolvare BAC 2022 Matematică M3 pedagogic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din simularea 2022 (Simularea națională a clasei a XII-a — martie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ), știind că a₁ = 3 și r = 2.

a₃ = a₁ + 2r = 7.
S₃ = (a₁ + a₃)·32 = 10·32 = 15.
Răspuns
15
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (1 − 2a)x + 1, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care f(1) = f(−1).

f(1) = 2 − 2a și f(−1) = 2a.
2 − 2a = 2a, deci 4a = 2 și a = 12.
Răspuns
a = 12
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + log₂(2x + 1) = log₂4.

log₂4 = 2, deci log₂(2x + 1) = 1.
2x + 1 = 2, deci x = 12, care convine (2x + 1 = 2 > 0).
Răspuns
x = 12
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
Pătratele perfecte: 0, 1, 4, 9, adică 4 cazuri favorabile.
p = 410 = 25.
Răspuns
p = 25
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 4), B(−3, 2) și C(5, 2). Determinați lungimea medianei triunghiului ABC construită din vârful A.

Mediana din A merge în M, mijlocul lui BC: M(1, 2).
AM = √(1 − 1)² + (2 − 4)² = √4 = 2.
Răspuns
AM = 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați √3·sin60°·sin45° − 3·sin30°·cos45°.

sin60° = √32, sin45° = cos45° = √22 și sin30° = 12.
√3·(√32)·(√22) − 3·(12)·(√22) = 3√24 − 3√24 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = −(x − 1)(y − 1)3 + 1.

1. (5p) Arătați că 3 ∗ 4 = −1.

3 ∗ 4 = −(3 − 1)(4 − 1)3 + 1 = −2·33 + 1 = −2 + 1 = −1.
Răspuns
3 ∗ 4 = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Verificați dacă e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ (−2) = −(x − 1)(−3)3 + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice x real.
(−2) ∗ x = −(−3)(x − 1)3 + 1 = x, pentru orice x real.
Deci da, e = −2 este elementul neutru.
Răspuns
Da, e = −2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real a pentru care a ∗ 7 = 5.

a ∗ 7 = −(a − 1)·63 + 1 = −2(a − 1) + 1.
−2(a − 1) + 1 = 5 ⇔ a − 1 = −2, deci a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ (1 + x) ≥ −3.

x ∗ (1 + x) = −(x − 1)x3 + 1.
−x(x − 1)3 + 1 ≥ −3 ⇔ x(x − 1) ≤ 12 ⇔ x² − x − 12 ≤ 0 ⇔ (x − 4)(x + 3) ≤ 0.
x∈[−3, 4].
Răspuns
x∈[−3, 4]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați cel mai mare număr natural n pentru care n ∗ n ∗ n ≤ n.

n ∗ n = −(n − 1)²3 + 1, deci (n ∗ n) − 1 = −(n − 1)²3.
n ∗ n ∗ n = (n ∗ n) ∗ n = −(n ∗ n − 1)(n − 1)3 + 1 = (n − 1)³9 + 1.
(n − 1)³9 + 1 ≤ n ⇔ (n − 1)((n − 1)² − 9) ≤ 0 ⇔ (n − 1)(n − 4)(n + 2) ≤ 0.
Pentru n natural, n + 2 > 0, deci (n − 1)(n − 4) ≤ 0: n∈{1, 2, 3, 4}. Cel mai mare este n = 4.
Răspuns
n = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ n = −1.

−(m − 1)(n − 1)3 + 1 = −1 ⇔ (m − 1)(n − 1) = 6.
m − 1 ≥ −1 și n − 1 ≥ −1, deci factorii sunt pozitivi (o pereche negativă ar cere un factor ≤ −2): 1·6, 2·3, 3·2, 6·1.
Perechile: (2, 7), (3, 4), (4, 3) și (7, 2).
Răspuns
(2, 7), (3, 4), (4, 3), (7, 2)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 231−2 și I₂ = 1001.

1. (5p) Arătați că det(A) = −7.

det(A) = 2·(−2) − 3·1 = −4 − 3 = −7.
Răspuns
det(A) = −7
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că det(A + xI₂) ≥ −7, pentru orice număr real x.

A + xI₂ = 2+x31−2+x, deci det(A + xI₂) = (x + 2)(x − 2) − 3 = x² − 7.
x² ≥ 0, deci x² − 7 ≥ −7, pentru orice x real.
Răspuns
det(A + xI₂) = x² − 7 ≥ −7
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real a pentru care A·A = aI₂.

A·A = 4+36−62−23+4 = 7007 = 7I₂.
Deci a = 7.
Răspuns
a = 7
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale m pentru care det(mA − I₂) = m·det(A + I₂).

mA − I₂ = 2m−13mm−2m−1, deci det(mA − I₂) = −(4m² − 1) − 3m² = 1 − 7m².
A + I₂ = 331−1, deci det(A + I₂) = −6.
1 − 7m² = −6m ⇔ 7m² − 6m − 1 = 0, deci m = −17 sau m = 1.
Răspuns
m = −17 sau m = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Se consideră matricea M = xyyx∈M₂(R), astfel încât A·M = M·A. Arătați că y = 0.

A·M = 2x+3y3x+2yx−2y−2x+y și M·A = 2x+y3x−2yx+2y−2x+3y.
Din egalitatea elementelor din colțul stânga-sus: 2x + 3y = 2x + y, deci y = 0 (care verifică și celelalte egalități).
Răspuns
y = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați pentru câte valori întregi ale lui a obținem det(aA) ≥ −28.

det(aA) = a²·det(A) = −7a².
−7a² ≥ −28 ⇔ a² ≤ 4; cu a întreg: a∈{−2, −1, 0, 1, 2}.
Deci a poate avea 5 valori.
Răspuns
5 valori
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri