Rezolvare BAC 2022 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (iunie) 2022 (Proba E.c) — iunie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √18 + √8 = 5√2.

√18 = √9·2 = 3√2 și √8 = √4·2 = 2√2.
3√2 + 2√2 = 5√2.
Răspuns
5√2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) − f(2) = 12.

f(a) = 3a − 2 și f(2) = 4, deci f(a) − f(2) = 3a − 6.
3a − 6 = 12, deci 3a = 18 și a = 6.
Notă: baremul oficial publicat rezolvă aici f(a) − f(−a) = 12 (6a = 12, a = 2), nu enunțul din subiect.
Răspuns
a = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) După o reducere cu 20% prețul unui obiect scade cu 28 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Dacă x e prețul inițial, reducerea este (20100)·x = x5.
x5 = 28, deci x = 140 de lei.
Răspuns
140 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4²ˣ⁻¹ = 64.

64 = 4³, deci 4²ˣ⁻¹ = 4³.
2x − 1 = 3, deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(2, 3) și dreapta d de ecuație y = 2x + 1. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d.

Panta lui d este 2, deci panta unei drepte perpendiculare pe d este −12 (produsul pantelor e −1).
Dreapta prin A(2, 3): y − 3 = (−12)(x − 2), adică 2y − 6 = −x + 2.
Ecuația: x + 2y − 8 = 0.
Răspuns
x + 2y − 8 = 0
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A cu măsura unghiului B de 30° și BC = 10. Calculați aria triunghiului ABC.

Cateta opusă unghiului de 30° e jumătate din ipotenuză: AC = BC2 = 5.
Din teorema lui Pitagora: AB = √BC² − AC² = √100 − 25 = 5√3.
Aria = AB·AC2 = 5√3·52 = 25√32.
Răspuns
Aria = 25√32
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = xy − √3(x + y) + √3 + 3.

1. (5p) Arătați că 1 ∗ 0 = 3.

1 ∗ 0 = 1·0 − √3(1 + 0) + √3 + 3 = 0 − √3 + √3 + 3 = 3.
Răspuns
1 ∗ 0 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x ∗ y = (x − √3)(y − √3) + √3, pentru orice numere reale x și y.

(x − √3)(y − √3) = xy − √3x − √3y + 3.
Adunând √3: xy − √3(x + y) + 3 + √3 = x ∗ y.
Răspuns
x ∗ y = (x − √3)(y − √3) + √3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care x ∗ x = √3.

Din 2: x ∗ x = (x − √3)² + √3.
(x − √3)² + √3 = √3 ⇔ (x − √3)² = 0, deci x = √3.
Notă: baremul oficial publicat rezolvă aici x ∗ x = 9 + √3 (cu x = 3 + √3 sau x = −3 + √3), nu enunțul din subiect.
Răspuns
x = √3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că e = √3 + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ (√3 + 1) = (x − √3)(√3 + 1 − √3) + √3 = (x − √3) + √3 = x, pentru orice x real.
(√3 + 1) ∗ x = (√3 + 1 − √3)(x − √3) + √3 = x, pentru orice x real.
Deci e = √3 + 1 este elementul neutru.
Răspuns
e = √3 + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că √3 ∗ x = √3, pentru orice număr real x.

√3 ∗ x = (√3 − √3)(x − √3) + √3 = 0·(x − √3) + √3 = √3.
Răspuns
√3 ∗ x = √3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul natural n pentru care √3 ∗ √4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022 = √n.

Legea e asociativă, deci √3 ∗ √4 ∗ … ∗ √2022 = √3 ∗ (√4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022).
Din 5, √3 compus cu orice număr dă √3, deci rezultatul este √3.
√n = √3, deci n = 3.
Răspuns
n = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1031, B = 10−31 și I₂ = 1001.

1. (5p) Arătați că det(A) = 1.

det(A) = 1·1 − 3·0 = 1.
Răspuns
det(A) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A·A − 2A = −I₂.

A·A = 1061 și 2A = 2062.
A·A − 2A = −100−1 = −I₂.
Răspuns
A·A − 2A = −I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A·B = B·A = I₂.

A·B = 103−31 = 1001 = I₂.
B·A = 10−3+31 = 1001 = I₂.
Răspuns
A·B = B·A = I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numărul real a pentru care det(A − aI₂) = 0.

A − aI₂ = 1−a031−a, deci det(A − aI₂) = (1 − a)².
(1 − a)² = 0, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale m pentru care det(m(A + B)) = m·det(A + B).

A + B = 2002, deci det(A + B) = 4 și m(A + B) = 2m002m, cu det(m(A + B)) = 4m².
4m² = 4m ⇔ 4m(m − 1) = 0, deci m = 0 sau m = 1.
Răspuns
m = 0 sau m = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale x și y, știind că xA + yB = 2I₂.

xA + yB = x+y03x−3yx+y, iar 2I₂ = 2002.
x + y = 2 și 3x − 3y = 0, deci x = y = 1.
Răspuns
x = 1, y = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri