Rezolvare BAC 2020 Matematică M3 pedagogic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din modelul 2020 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 2 și a₃ = 8.

S₃ = (a₁ + a₃)·32 = (2 + 8)·32.
S₃ = 302 = 15.
Răspuns
S₃ = 15
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 5. Determinați numărul real m pentru care f(m) = f(1) + f(−1).

f(1) = 6 și f(−1) = 4, deci f(1) + f(−1) = 10.
m + 5 = 10, deci m = 5.
Răspuns
m = 5
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x² + 4) = 3.

x² + 4 > 0 pentru orice x real, deci nu avem restricții.
x² + 4 = 2³ = 8 ⇒ x² − 4 = 0.
x = −2 sau x = 2, care convin.
Răspuns
x ∈ {−2, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Un obiect costă 2000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

După prima scumpire: 2000 + 10%·2000 = 2000 + 200 = 2200 de lei.
După a doua scumpire: 2200 + 10%·2200 = 2200 + 220 = 2420 de lei.
Răspuns
2420 de lei
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(−1,1), C(−1,−1) și D(1,−1). Calculați perimetrul patrulaterului ABCD.

AB = |1 − (−1)| = 2 (au aceeași ordonată), BC = 2, CD = 2, DA = 2.
P = 4·2 = 8.
Răspuns
P = 8
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A, știind că m(∢B) = 45° și BC = 4√2.

Triunghiul e dreptunghic isoscel (unghiurile ascuțite au 45°), deci AB = AC.
Pitagora: 2AB² = BC² = 32 ⇒ AB = AC = 4.
Aria = AB·AC2 = 4·42 = 8.
Răspuns
Aria = 8
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 2xy − 8(x + y) + 36.

1. (5p) Arătați că 0 ∗ 4 = 4.

0 ∗ 4 = 2·0·4 − 8(0 + 4) + 36 = 0 − 32 + 36 = 4.
Răspuns
0 ∗ 4 = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x ∗ y = 2(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y.

x ∗ y = 2xy − 8x − 8y + 32 + 4.
= 2x(y − 4) − 8(y − 4) + 4 = 2(x − 4)(y − 4) + 4.
Răspuns
x ∗ y = 2(x − 4)(y − 4) + 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Verificați dacă e = 92 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ (92) = 2(x − 4)(92 − 4) + 4 = 2(x − 4)·(12) + 4 = x − 4 + 4 = x, pentru orice x real.
(92) ∗ x = 2(92 − 4)(x − 4) + 4 = x, pentru orice x real (legea e comutativă).
Deci e = 92 este elementul neutru.
Răspuns
Da, e = 92 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (x − 1) ∗ (x + 1) = 10.

(x − 1) ∗ (x + 1) = 2(x − 5)(x − 3) + 4 = 10 ⇒ (x − 5)(x − 3) = 3.
x² − 8x + 15 = 3 ⇒ x² − 8x + 12 = 0.
x = 2 sau x = 6.
Răspuns
x ∈ {2, 6}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care 3^x² ∗ 3^x² ∗ 3^x² = 0.

Notăm t = 3^x². Din 2.: t ∗ t = 2(t − 4)² + 4, apoi t ∗ t ∗ t = 2·(2(t − 4)²)·(t − 4) + 4 = 4(t − 4)³ + 4.
4(t − 4)³ + 4 = 0 ⇒ (t − 4)³ = −1 ⇒ t − 4 = −1 ⇒ t = 3.
3^x² = 3 ⇒ x² = 1 ⇒ x = −1 sau x = 1.
Răspuns
x ∈ {−1, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Dați exemplu de numere raționale p și q, care nu sunt întregi, pentru care numărul p ∗ q este întreg.

p ∗ q = 2(p − 4)(q − 4) + 4 este întreg ⇔ 2(p − 4)(q − 4) este întreg.
Alegem p − 4 = 32 și q − 4 = 23, adică p = 112 și q = 143, ambele raționale și neîntregi.
p ∗ q = 2·(32)·(23) + 4 = 2 + 4 = 6, număr întreg.
Răspuns
de exemplu p = 112, q = 143 (p ∗ q = 6)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A(a) = a222 și B(b) = 2b22, unde a și b sunt numere reale.

1. (5p) Arătați că det(A(3)) = 2.

A(3) = 3222.
det(A(3)) = 3·2 − 2·2 = 6 − 4 = 2.
Răspuns
det(A(3)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A(2)·B(2) = 2(A(2) + B(2)).

A(2) = B(2) = 2222, deci A(2)·B(2) = 8888.
2(A(2) + B(2)) = 2·4444 = 8888, deci egalitatea are loc.
Răspuns
A(2)·B(2) = 2(A(2) + B(2))
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați inversa matricei A(1).

A(1) = 1222, det(A(1)) = 2 − 4 = −2 ≠ 0, deci A(1) e inversabilă.
(A(1))⁻¹ = (1−2)·2−2−21 = −111−12.
Răspuns
(A(1))⁻¹ = −111−12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Demonstrați că det(A(a) + B(b)) = det(A(a)) + det(B(b)) dacă și numai dacă a = b.

A(a) + B(b) = a + 22 + b44, deci det(A(a) + B(b)) = 4(a + 2) − 4(2 + b) = 4a − 4b.
det(A(a)) = 2a − 4 și det(B(b)) = 4 − 2b, deci suma lor este 2a − 2b.
4a − 4b = 2a − 2b ⇔ 2a = 2b ⇔ a = b.
Răspuns
egalitatea are loc ⇔ a = b
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea C(a) = B(a)·A(a) este inversabilă.

C(a) = 2a22·a222 = 4a2a + 42a + 48.
det(C(a)) = 32a − (2a + 4)² = −4a² + 16a − 16 = −4(a − 2)².
C(a) e inversabilă ⇔ det(C(a)) ≠ 0 ⇔ a ≠ 2.
Răspuns
a ∈ R \ {2}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care det(A(n)) > n² − 7.

det(A(n)) = 2n − 4, deci inecuația este 2n − 4 > n² − 7 ⇔ n² − 2n − 3 < 0 ⇔ (n − 3)(n + 1) < 0.
n ∈ (−1, 3) și, cum n este natural nenul, n = 1 sau n = 2.
Răspuns
n ∈ {1, 2}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Rezolvare BAC 2020 Matematică M3 pedagogic, modelul

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 2 și a₃ = 8.

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 5. Determinați numărul real m pentru care f(m) = f(1) + f(−1).

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x² + 4) = 3.

4. (5p) Un obiect costă 2000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(−1,1), C(−1,−1) și D(1,−1). Calculați perimetrul patrulaterului ABCD.

6. (5p) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A, știind că m(∢B) = 45° și BC = 4√2.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 0 ∗ 4 = 4.

2. (5p) Demonstrați că x ∗ y = 2(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y.

3. (5p) Verificați dacă e = 92 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (x − 1) ∗ (x + 1) = 10.

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care 3^x² ∗ 3^x² ∗ 3^x² = 0.

6. (5p) Dați exemplu de numere raționale p și q, care nu sunt întregi, pentru care numărul p ∗ q este întreg.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că det(A(3)) = 2.

2. (5p) Arătați că A(2)·B(2) = 2(A(2) + B(2)).

3. (5p) Determinați inversa matricei A(1).

4. (5p) Demonstrați că det(A(a) + B(b)) = det(A(a)) + det(B(b)) dacă și numai dacă a = b.

5. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea C(a) = B(a)·A(a) este inversabilă.

6. (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care det(A(n)) > n² − 7.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M3 pedagogic

Rezolvare BAC 2020 Matematică M3 pedagogic, modelul

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 2 și a₃ = 8.

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 5. Determinați numărul real m pentru care f(m) = f(1) + f(−1).

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x² + 4) = 3.

4. (5p) Un obiect costă 2000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(−1,1), C(−1,−1) și D(1,−1). Calculați perimetrul patrulaterului ABCD.

6. (5p) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A, știind că m(∢B) = 45° și BC = 4√2.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 0 ∗ 4 = 4.

2. (5p) Demonstrați că x ∗ y = 2(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y.

3. (5p) Verificați dacă e = 92 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (x − 1) ∗ (x + 1) = 10.

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care 3x² ∗ 3x² ∗ 3x² = 0.

6. (5p) Dați exemplu de numere raționale p și q, care nu sunt întregi, pentru care numărul p ∗ q este întreg.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că det(A(3)) = 2.

2. (5p) Arătați că A(2)·B(2) = 2(A(2) + B(2)).

3. (5p) Determinați inversa matricei A(1).

4. (5p) Demonstrați că det(A(a) + B(b)) = det(A(a)) + det(B(b)) dacă și numai dacă a = b.

5. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea C(a) = B(a)·A(a) este inversabilă.

6. (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care det(A(n)) > n² − 7.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M3 pedagogic

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care 3^x² ∗ 3^x² ∗ 3^x² = 0.