Rezolvare BAC 2019 Matematică M3 pedagogic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din modelul 2019 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2√3 − √20 + √45 − √5 + √4 − √12 = 2.

√20 = 2√5, √45 = 3√5, √4 = 2, √12 = 2√3.
Expresia devine 2√3 − 2√5 + 3√5 − √5 + 2 − 2√3 = (2√3 − 2√3) + (−2√5 + 3√5 − √5) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 7. Calculați f(a), unde a = f(3) − f(1).

f(3) = 10 și f(1) = 8, deci a = 10 − 8 = 2.
f(a) = f(2) = 2 + 7 = 9.
Răspuns
f(a) = 9
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2x² + 4x + 1 = x + 1.

Trebuie x + 1 ≥ 0. Ridicând la pătrat: 2x² + 4x + 1 = x² + 2x + 1, deci x² + 2x = 0, adică x(x + 2) = 0.
x = −2 nu convine (x + 1 = −1 < 0), iar x = 0 convine (√1 = 1).
Răspuns
x = 0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După două ieftiniri succesive cu câte 50%, un obiect costă 100 de lei. Calculați prețul inițial al obiectului.

Fie x prețul inițial. După prima ieftinire: x − (50100)·x = x2.
După a doua ieftinire: x2 − (50100)·(x2) = x4.
x4 = 100, deci x = 400 de lei.
Răspuns
400 de lei
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(−2,−2), N(−2,0) și P(0,−4). Determinați lungimea medianei din vârful M al triunghiului MNP.

Mijlocul segmentului NP este Q(−2 + 02, 0 − 42) = Q(−1, −2).
MQ = √(−1 + 2)² + (−2 + 2)² = √1 = 1.
Răspuns
MQ = 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu BC = 10 și m(∢B) = 30°. Calculați lungimea laturii AB.

În triunghiul dreptunghic în A, cateta AB e alăturată unghiului B: cos B = ABBC.
√32 = AB10, deci AB = 5√3.
Răspuns
AB = 5√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 2xy − 2x − 2y + 3.

1. (5p) Arătați că 2 ∗ 2 = 3.

2 ∗ 2 = 2·2·2 − 2·2 − 2·2 + 3 = 8 − 4 − 4 + 3 = 3.
Răspuns
2 ∗ 2 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x ∗ y = 2(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.

x ∗ y = 2xy − 2x − 2y + 2 + 1 = 2x(y − 1) − 2(y − 1) + 1.
= 2(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x ∗ y = 2(x − 1)(y − 1) + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că e = 32 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 32 = 2(x − 1)(32 − 1) + 1 = 2(x − 1)·(12) + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x.
32 ∗ x = 2(32 − 1)(x − 1) + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x.
Deci e = 32 este elementul neutru al legii „∗”.
Răspuns
e = 32 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Verificați dacă 54 este simetricul lui 2 în raport cu legea de compoziție „∗”.

2 ∗ 54 = 2(2 − 1)(54 − 1) + 1 = 2·1·(14) + 1 = 32 = e.
54 ∗ 2 = 2(54 − 1)(2 − 1) + 1 = 32 = e.
Deci 54 este simetricul lui 2.
Răspuns
Da, 54 este simetricul lui 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (x + 1) ∗ (x − 1) = 1.

(x + 1) ∗ (x − 1) = 2(x + 1 − 1)(x − 1 − 1) + 1 = 2x(x − 2) + 1.
2x(x − 2) + 1 = 1 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 2.
Răspuns
x = 0 sau x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care n ∗ (n + 1) ≤ 5.

n ∗ (n + 1) = 2(n − 1)(n + 1 − 1) + 1 = 2n(n − 1) + 1.
2n(n − 1) + 1 ≤ 5 ⇔ n(n − 1) ≤ 2.
Pentru n = 1: 0 ≤ 2; pentru n = 2: 2 ≤ 2; pentru n ≥ 3: n(n − 1) ≥ 6 > 2. Deci n = 1 sau n = 2.
Răspuns
n ∈ {1, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 14−3−2, B = 5−1−21 și I₂ = 1001.

1. (5p) Arătați că det A = 10.

det A = 14−3−2 = 1·(−2) − (−3)·4 = −2 + 12 = 10.
Răspuns
det A = 10
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că B·B = 6B − 3I₂.

B·B = 5−1−21·5−1−21 = 25+2−5−1−10−22+1 = 27−6−123.
6B − 3I₂ = 30−6−126 − 3003 = 27−6−123 = B·B.
Răspuns
B·B = 6B − 3I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care xA + yB = 77−8−3.

xA + yB = x4x−3x−2x + 5y−y−2yy = x+5y4x−y−3x−2y−2x+y.
Din x + 5y = 7 și 4x − y = 7: y = 4x − 7, deci x + 20x − 35 = 7, x = 2 și y = 1.
Verificare: −3·2 − 2·1 = −8 și −2·2 + 1 = −3, deci x = 2, y = 1.
Răspuns
x = 2, y = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați inversa matricei B.

det B = 5−1−21 = 5 − 2 = 3 ≠ 0, deci B este inversabilă.
B⁻¹ = (13)·1125 = 13132353.
Verificare: B·1125 = 3003 = 3I₂.
Răspuns
B⁻¹ = 13132353
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că matricea X ∈ M₂(R), care verifică egalitatea A + X = B, este inversabilă.

X = B − A = 5−1−1−4−2+31+2 = 4−513.
det X = 4−513 = 12 + 5 = 17 ≠ 0, deci X este inversabilă.
Răspuns
det X = 17 ≠ 0, deci X e inversabilă
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Demonstrați că det(A + aI₂) > 0, pentru orice număr real a.

A + aI₂ = 1+a4−3a−2, deci det(A + aI₂) = (1 + a)(a − 2) + 12 = a² − a + 10.
a² − a + 10 = (a − 12)² + 394 ≥ 394 > 0, pentru orice număr real a.
Răspuns
det(A + aI₂) = (a − 12)² + 394 > 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri