Rezolvare BAC 2021 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (toamnă) 2021 (Proba E.c) — august 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră progresia aritmetică (aₙ)ₙ≥₁, cu a₁ = 2 și a₃ = 14. Calculați termenul a₂.

Într-o progresie aritmetică, a₂ = a₁ + a₃2.
a₂ = 2 + 142 = 8.
Răspuns
a₂ = 8
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox.

Punctele de pe Ox au f(x) = 0: x² − 2x = 0, adică x(x − 2) = 0.
x = 0 sau x = 2.
Răspuns
x = 0 și x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7³⁻ˣ = 49ˣ.

49ˣ = 7²ˣ, deci 7³⁻ˣ = 7²ˣ.
3 − x = 2x, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 9}, numărul n + 2 să fie impar.

A are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
n + 2 e impar ⇔ n e impar: n ∈ {1, 3, 5, 7, 9}, deci 5 cazuri favorabile.
p = 59.
Răspuns
p = 59
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,−3), B(3,1) și C(a,0), unde a este număr real. Determinați numerele reale a pentru care AB = AC.

AB = √3² + 4² = 5 și AC = √a² + 3².
AB = AC ⇔ a² + 9 = 25 ⇔ a² = 16, deci a = −4 sau a = 4.
Răspuns
a ∈ {−4, 4}
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (1 + sin30°)·cos²45° + cos²60° = 1.

sin30° = 12, cos45° = √22, cos60° = 12.
(1 + 12)·(24) + 14 = (32)·(12) + 14 = 34 + 14 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 4x + 4y − 3.

1. (5p) Arătați că 0∗3 = 9.

0∗3 = 4·0 + 4·3 − 3 = 12 − 3 = 9.
Răspuns
0∗3 = 9
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

x∗y = 4x + 4y − 3 = 4y + 4x − 3 = y∗x, pentru orice numere reale x și y.
Deci legea „∗” este comutativă.
Răspuns
x∗y = y∗x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care (−3)∗x = 9.

(−3)∗x = −12 + 4x − 3 = 4x − 15.
4x − 15 = 9, deci 4x = 24 și x = 6.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (−x)∗(2x) = x².

(−x)∗(2x) = −4x + 8x − 3 = 4x − 3.
4x − 3 = x² ⇔ x² − 4x + 3 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) = 0, deci x = 1 sau x = 3.
Răspuns
x ∈ {1, 3}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ∗2ˣ = 1.

2ˣ∗2ˣ = 4·2ˣ + 4·2ˣ − 3 = 8·2ˣ − 3.
8·2ˣ − 3 = 1 ⇔ 2ˣ = 12 = 2⁻¹, deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul real x, știind că scăzând x din numărul x∗(x2 ∗ x4), se obține numărul cu 1 mai mic decât x.

x2 ∗ x4 = 2x + x − 3 = 3x − 3.
x∗(3x − 3) = 4x + 12x − 12 − 3 = 16x − 15.
16x − 15 − x = x − 1 ⇔ 14x = 14, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 16−2−7 și B(x) = 2x+2x−2−2, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 5.

det A = 16−2−7 = 1·(−7) − 6·(−2) = −7 + 12 = 5.
Răspuns
det A = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că 2B(1) − A = 3I₂.

B(1) = 23−1−2, deci 2B(1) = 46−2−4.
2B(1) − A = 4−16−6−2+2−4+7 = 3003 = 3I₂.
Răspuns
2B(1) − A = 3I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că B(1)·B(3) − 3I₂ = 2B(0).

B(3) = 251−2, deci B(1)·B(3) = 23−1−2·251−2 = 74−4−1.
B(1)·B(3) − 3I₂ = 44−4−4 = 2·22−2−2 = 2B(0).
Răspuns
B(1)·B(3) − 3I₂ = 2B(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că B(x)·B(x) = x²I₂, pentru orice număr real x.

B(x)·B(x) = 4+(x+2)(x−2)2(x+2)−2(x+2)2(x−2)−2(x−2)(x−2)(x+2)+4.
= x²00x² = x²I₂, pentru orice număr real x.
Răspuns
B(x)·B(x) = x²I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care det(B(x)) = det(B(x + 1)).

det(B(x)) = 2·(−2) − (x + 2)(x − 2) = −4 − x² + 4 = −x², deci det(B(x + 1)) = −(x + 1)².
−x² = −(x + 1)² ⇔ x² = x² + 2x + 1 ⇔ 2x + 1 = 0, deci x = −12.
Răspuns
x = −12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul natural n pentru care B(3)·B(3) + B(4)·B(4) = B(n)·B(n).

Din punctul 4: B(3)·B(3) = 9I₂, B(4)·B(4) = 16I₂ și B(n)·B(n) = n²I₂.
9I₂ + 16I₂ = 25I₂ = n²I₂, deci n² = 25 și, n fiind natural, n = 5.
Răspuns
n = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri