Acasă / Subiecte rezolvate / 2018 / Rezolvare M3 pedagogic

Rezolvare BAC 2018 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (vară) 2018 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2·(0,1(6) + 13) = 1.
  • 0,1(6) = 16 − 190 = 1590 = 16.
  • 2·(16 + 13) = 2·(16 + 26) = 2·(12) = 1.

  • Răspuns

    1

  • Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x − 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a.
  • f(a) = 2a − 2.
  • 2a − 2 = a ⇔ a = 2.

  • Răspuns

    a = 2

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x²+6 = 5⁵ˣ.
  • Exponenții sunt egali: x² + 6 = 5x ⇔ x² − 5x + 6 = 0.
  • Δ = 25 − 24 = 1, deci x = 2 sau x = 3.

  • Răspuns

    x ∈ {2, 3}

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Prețul unui obiect este 900 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%.
  • După prima ieftinire: 900 − (10100)·900 = 900 − 90 = 810 lei.
  • După a doua ieftinire: 810 − (10100)·810 = 810 − 81 = 729 de lei.

  • Răspuns

    729 de lei

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,−1), B(1,2) și C(−1,−2). Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
−2−112−3−2−112xyOA(2, −1)B(1, 2)C(−1, −2)
  • AB = √(1 − 2)² + (2 + 1)² = √10 și AC = √(−1 − 2)² + (−2 + 1)² = √10, deci triunghiul ABC este isoscel.
  • BC = √(−1 − 1)² + (−2 − 2)² = √20 și BC² = 20 = 10 + 10 = AB² + AC².
  • Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în A, deci ABC este dreptunghic isoscel.

  • Răspuns

    AB = AC = √10, BC² = AB² + AC²

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin²30° + sin²45° + sin²60° = 32.
  • sin30° = 12, sin45° = √22, sin60° = √32.
  • sin²30° + sin²45° + sin²60° = 14 + 24 + 34 = 64 = 32.

  • Răspuns

    32

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 2(x + y) + xy + 2.

1. (5p) Arătați că 0∗(−2) = −2.
  • 0∗(−2) = 2(0 + (−2)) + 0·(−2) + 2 = −4 + 0 + 2 = −2.

  • Răspuns

    −2

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x∗y = (x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice numere reale x și y.
  • x∗y = xy + 2x + 2y + 4 − 2.
  • = x(y + 2) + 2(y + 2) − 2 = (x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice numere reale x și y.

  • Răspuns

    x∗y = (x + 2)(y + 2) − 2

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Verificați dacă e = −1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.
  • x∗(−1) = (x + 2)(−1 + 2) − 2 = x + 2 − 2 = x.
  • (−1)∗x = (−1 + 2)(x + 2) − 2 = x + 2 − 2 = x, pentru orice număr real x.
  • Deci e = −1 este elementul neutru al legii „∗”.

  • Răspuns

    da, e = −1 este element neutru

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x, știind că (x + 1)∗(x + 1) = 2.
  • (x + 1)∗(x + 1) = (x + 3)(x + 3) − 2 = (x + 3)² − 2.
  • (x + 3)² − 2 = 2 ⇔ x² + 6x + 5 = 0, deci x = −5 sau x = −1.

  • Răspuns

    x ∈ {−5, −1}

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele x∈(0,+∞) pentru care lg x ∗ lg(2x) = −2.
  • lg x ∗ lg(2x) = (lg x + 2)(lg(2x) + 2) − 2 = −2 ⇔ (lg x + 2)(lg(2x) + 2) = 0.
  • lg x + 2 = 0 ⇔ lg x = −2 ⇔ x = 1100.
  • lg(2x) + 2 = 0 ⇔ 2x = 1100 ⇔ x = 1200. Ambele valori sunt pozitive, deci convin.

  • Răspuns

    x ∈ {1100, 1200}

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Dați exemplu de numere raționale a și b, care nu sunt întregi, pentru care numărul a∗b este întreg.
  • a∗b = (a + 2)(b + 2) − 2, deci a∗b este întreg ⇔ (a + 2)(b + 2) este întreg.
  • Alegem a + 2 = 23, adică a = −43, și b + 2 = 32, adică b = −12; ambele sunt raționale și nu sunt întregi.
  • Atunci (a + 2)(b + 2) = 1, deci a∗b = 1 − 2 = −1, număr întreg.

  • Răspuns

    de exemplu a = −43, b = −12 (a∗b = −1)

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1102, I₂ = 1001 și M(a) = aA + I₂, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 2.
  • det A = 1102 = 1·2 − 0·1 = 2.

  • Răspuns

    det A = 2

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că det(M(a)) = (a + 1)(2a + 1), pentru orice număr real a.
  • M(a) = aa02a + 1001 = a+1a02a+1.
  • det(M(a)) = a+1a02a+1 = (a + 1)(2a + 1) − 0·a = (a + 1)(2a + 1).

  • Răspuns

    det(M(a)) = (a + 1)(2a + 1)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați inversa matricei M(−2).
  • M(−2) = −1−20−3, cu det(M(−2)) = (−1)·(−3) − 0 = 3 ≠ 0, deci M(−2) e inversabilă.
  • Adjuncta este −320−1, deci (M(−2))⁻¹ = (13)·−320−1 = −1230−13.
  • Verificare: −1−20−3·−1230−13 = 1001.

  • Răspuns

    (M(−2))⁻¹ = −1230−13

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că M(1)·M(2) = 3(A·A + I₂).
  • M(1)·M(2) = 2103·3205 = 69015 = 3·2305.
  • A·A + I₂ = 1304 + 1001 = 2305, deci M(1)·M(2) = 3(A·A + I₂).

  • Răspuns

    M(1)·M(2) = 3(A·A + I₂)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Demonstrați că det(M(a) − 2aA) ≠ 1, pentru orice număr întreg nenul a.
  • M(a) − 2aA = aA + I₂ − 2aA = I₂ − aA = M(−a), deci det(M(a) − 2aA) = (1 − a)(1 − 2a).
  • (1 − a)(1 − 2a) = 1 ⇔ 2a² − 3a + 1 = 1 ⇔ a(2a − 3) = 0, deci a = 0 sau a = 32.
  • Niciuna nu este număr întreg nenul, deci det(M(a) − 2aA) ≠ 1 pentru orice număr întreg nenul a.

  • Răspuns

    det(M(a) − 2aA) = (1 − a)(1 − 2a) ≠ 1

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați matricea X ∈ M₂,₁(R) pentru care A·X = 0−4.
  • Fie X = xy; atunci A·X = x+y2y.
  • Sistemul x + y = 0, 2y = −4 dă y = −2 și x = 2.

  • Răspuns

    X = 2−2

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M3 pedagogic

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →