Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (vară) 2018 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați numărul complex z, știind că 2z̄ − z = 1 − 3i, unde z̄ este conjugatul lui z.

Scriem z = a + bi, cu a, b reale; atunci z̄ = a − bi.
2z̄ − z = 2a − 2bi − a − bi = a − 3bi.
Din a − 3bi = 1 − 3i obținem a = 1 și b = 1, deci z = 1 + i.
Răspuns
z = 1 + i
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − mx + 1, unde m este număr real. Determinați numerele reale m, știind că vârful parabolei asociate funcției f se află pe axa Ox.

Vârful parabolei e pe axa Ox ⇔ y_V = 0 ⇔ Δ = 0.
Δ = m² − 4, deci m² − 4 = 0, de unde m = −2 sau m = 2.
Răspuns
m ∈ {−2, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg xlg(x + 2) = 12.

Condiții: x > 0 (atunci x + 2 > 2, deci lg(x + 2) ≠ 0).
Ecuația devine 2lg x = lg(x + 2), adică lg x² = lg(x + 2), deci x² = x + 2, adică x² − x − 2 = 0.
Soluțiile sunt x = −1, care nu convine (x > 0), și x = 2, care convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte și impare.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cifrele impare sunt 1, 3, 5, 7, 9: cifra zecilor se alege în 5 moduri, iar cifra unităților, diferită de ea, în 4 moduri, deci 5·4 = 20 de cazuri favorabile.
p = 2090 = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(−5,2) și dreapta d de ecuație y = x + 1. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d.

Panta dreptei d este m_d = 1, deci panta unei drepte perpendiculare pe d este m = −1 (m·m_d = −1).
Dreapta prin A(−5,2) cu panta −1: y − 2 = −(x + 5), adică y = −x − 3.
Răspuns
y = −x − 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin(π4 + x) − cos(π4 − x) = 0, pentru orice număr real x.

sin(π4 + x) = sin(π4)cos x + cos(π4)sin x = (√22)(cos x + sin x).
cos(π4 − x) = cos(π4)cos x + sin(π4)sin x = (√22)(cos x + sin x).
Diferența este (√22)(cos x + sin x − cos x − sin x) = 0, pentru orice număr real x.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea M(m) = 2m1112m1112m și sistemul de ecuații 2mx + y + z = −1x + 2my + z = 0x + y + 2mz = 1, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(0)) = 2.

M(0) = 011101110, deci det(M(0)) = 011101110.
Cu regula lui Sarrus: det(M(0)) = 0 + 1 + 1 − 0 − 0 − 0 = 2.
Răspuns
det(M(0)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale m, știind că det(M(m)) = 0.

Cu regula lui Sarrus: det(M(m)) = 8m³ + 1 + 1 − 2m − 2m − 2m = 8m³ − 6m + 2.
8m³ − 6m + 2 = 2(4m³ − 3m + 1) = 2(m + 1)(4m² − 4m + 1) = 2(m + 1)(2m − 1)².
det(M(m)) = 0 ⇔ m + 1 = 0 sau 2m − 1 = 0, deci m = −1 sau m = 12.
Răspuns
m ∈ {−1, 12}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru m = −1, demonstrați că, dacă (a,b,c) este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele a, b și c este întreg.

Pentru m = −1 sistemul este −2a + b + c = −1, a − 2b + c = 0, a + b − 2c = 1.
Scăzând a doua ecuație din prima: −3a + 3b = −1, deci a − b = 13. Scăzând a treia din a doua: −3b + 3c = −1, deci b − c = 13. Adunând: a − c = 23.
Dacă două dintre numerele a, b, c ar fi întregi, diferența lor ar fi un număr întreg; dar a − b, b − c și a − c nu sunt întregi.
Deci cel mult unul dintre numerele a, b și c este întreg.
Răspuns
cel mult unul este întreg
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = 4xy + 3x + 3y + 32.

a) (5p) Demonstrați că x∗y = 4(x + 34)(y + 34) − 34, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = 4xy + 3x + 3y + 94 − 34 (fiindcă 94 − 34 = 32).
= 4x(y + 34) + 3(y + 34) − 34 = (4x + 3)(y + 34) − 34 = 4(x + 34)(y + 34) − 34.
Răspuns
x∗y = 4(x + 34)(y + 34) − 34
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗x∗x = −12.

x∗x = 4(x + 34)² − 34, deci (x∗x) + 34 = 4(x + 34)².
x∗x∗x = 4·4(x + 34)²·(x + 34) − 34 = 16(x + 34)³ − 34.
16(x + 34)³ − 34 = −12 ⇔ 16(x + 34)³ = 14 ⇔ (x + 34)³ = 164 ⇔ x + 34 = 14, deci x = −12.
Răspuns
x = −12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a, știind că f(x)∗f(y) = f(x + y), pentru orice numere reale x și y, unde f:R→R, f(x) = aeˣ − 34.

f(x) + 34 = aeˣ, deci f(x)∗f(y) = 4·aeˣ·aeʸ − 34 = 4a²·eˣ⁺ʸ − 34.
f(x + y) = aeˣ⁺ʸ − 34, deci egalitatea devine 4a²·eˣ⁺ʸ = aeˣ⁺ʸ, pentru orice x, y reale.
Cum eˣ⁺ʸ > 0, obținem 4a² = a, adică a(4a − 1) = 0, deci a = 0 sau a = 14.
Răspuns
a ∈ {0, 14}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 8x² − ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (4x − 1)(4x + 1)x, x∈(0,+∞).

f'(x) = 16x − 1x = 16x² − 1x.
16x² − 1 = (4x − 1)(4x + 1), deci f'(x) = (4x − 1)(4x + 1)x.
Răspuns
f'(x) = (4x − 1)(4x + 1)x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că punctul A(23, 3) aparține tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 8 − 0 = 8 și f'(1) = 16 − 1 = 15.
Ecuația tangentei: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y = 15x − 7.
Pentru x = 23: 15·(23) − 7 = 10 − 7 = 3, deci A(23, 3) aparține tangentei.
Răspuns
A aparține tangentei y = 15x − 7
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(13) < f(1√7) < f(12).

Pentru x ∈ (14, +∞): 4x − 1 > 0, 4x + 1 > 0, x > 0, deci f'(x) > 0 și f este strict crescătoare pe (14, +∞).
Comparăm numerele: din 2 < √7 < 3 obținem 13 < 1√7 < 12, iar 14 < 13.
Deci 14 < 13 < 1√7 < 12 și, f fiind strict crescătoare pe (14, +∞), f(13) < f(1√7) < f(12).
Răspuns
f(13) < f(1√7) < f(12)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R, f(x) = 2x + 3x + 3.