Rezolvare BAC 2017 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (vară) 2017 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 2 + i. Arătați că z + z̄ + z·z̄ = 9, unde z̄ este conjugatul lui z.

z̄ = 2 − i, deci z + z̄ = 2 + i + 2 − i = 4.
z·z̄ = (2 + i)(2 − i) = 4 − i² = 4 + 1 = 5.
Suma este 4 + 5 = 9.
Răspuns
9
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real m, știind că punctul A(1, m) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = x² + 2x − 3.

A(1, m) aparține graficului ⇔ f(1) = m.
f(1) = 1 + 2 − 3 = 0, deci m = 0.
Răspuns
m = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1 − log₂x)(2 − log₂x) = 0.

Condiția de existență: x > 0.
Un produs e nul dacă un factor e nul: 1 − log₂x = 0 sau 2 − log₂x = 0.
log₂x = 1 ⇒ x = 2; log₂x = 2 ⇒ x = 4. Ambele valori sunt pozitive, deci convin.
Răspuns
x ∈ {2, 4}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.

Numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor a ∈ {1, …, 8}, iar cifra unităților b > a: pentru a = 1 sunt 8 variante, pentru a = 2 sunt 7, …, pentru a = 8 una singură.
Cazuri favorabile: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.
p = 3690 = 25.
Răspuns
p = 25
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1), B(3,3) și C(0,2). Determinați lungimea medianei din C a triunghiului ABC.

Mediana din C unește C cu mijlocul M al segmentului AB: M(3 + 32, 1 + 32) = M(3, 2).
CM = √(3 − 0)² + (2 − 2)² = √9 = 3.
Răspuns
CM = 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (1 + tg²x)cos²x − (1 + ctg²x)sin²x = 0, pentru orice x ∈ (0, π2).

tg x = sin(x)cos(x), deci (1 + tg²x)cos²x = cos²x + sin²x = 1.
ctg x = cos(x)sin(x), deci (1 + ctg²x)sin²x = sin²x + cos²x = 1.
Diferența este 1 − 1 = 0, pentru orice x ∈ (0, π2).
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 11212a−2−13 și sistemul de ecuații x + y + 2z = 0x + 2y + az = 0−2x − y + 3z = 0, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(9)) = 0.

det(A(9)) = 112129−2−13.
Cu regula lui Sarrus: 6 + (−18) + (−2) − (−8) − (−9) − 3 = 6 − 18 − 2 + 8 + 9 − 3 = 0.
Răspuns
det(A(9)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică.

det(A(a)) = 6 + (−2a) + (−2) − (−8) − (−a) − 3 = 9 − a.
Sistemul (omogen, cu matricea A(a)) are soluție unică ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ a ≠ 9.
Răspuns
a ∈ R \ {9}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția (x₀, y₀, z₀), cu x₀, y₀ și z₀ numere reale nenule, atunci −x₀ + y₀ + z₀ = 11(x₀ + y₀ + z₀).

Sistemul omogen are o soluție nenulă doar dacă nu are soluție unică, deci a = 9.
Pentru a = 9, scăzând prima ecuație din a doua: y + 7z = 0, deci y = −7z, iar din prima x = −y − 2z = 5z. Soluțiile sunt (5α, −7α, α), α ∈ R.
−x₀ + y₀ + z₀ = −5α − 7α + α = −11α.
11(x₀ + y₀ + z₀) = 11(5α − 7α + α) = 11·(−α) = −11α, deci egalitatea are loc.
Răspuns
−x₀ + y₀ + z₀ = 11(x₀ + y₀ + z₀)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy + 7x + 7y + 42.

a) (5p) Arătați că x∘y = (x + 7)(y + 7) − 7, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = xy + 7x + 7y + 49 − 7.
= x(y + 7) + 7(y + 7) − 7 = (x + 7)(y + 7) − 7, pentru orice x, y reale.
Răspuns
x∘y = (x + 7)(y + 7) − 7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x, știind că x∘x = x.

x∘x = (x + 7)² − 7, deci ecuația devine (x + 7)² − 7 = x.
(x + 7)² − (x + 7) = 0 ⇔ (x + 7)(x + 6) = 0.
x = −7 sau x = −6.
Răspuns
x ∈ {−7, −6}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că 2017ᵃ∘(−6) = 1.

2017ᵃ∘(−6) = (2017ᵃ + 7)(−6 + 7) − 7 = 2017ᵃ + 7 − 7 = 2017ᵃ.
2017ᵃ = 1 = 2017⁰, deci a = 0.
Răspuns
a = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = ln x1 − x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 1 − x + x ln xx(1 − x)², x ∈ (1, +∞).

Regula câtului: f'(x) = (1/x)·(1 − x) − ln x·(−1)(1 − x)² = (1 − x)/x + ln x(1 − x)².
Aducem numărătorul la numitorul x: f'(x) = 1 − x + x ln xx(1 − x)², x ∈ (1, +∞).
Răspuns
f'(x) = 1 − x + x ln xx(1 − x)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ f(x) = limx→+∞ ln x1 − x, caz ∞/∞.
Cu regula lui l'Hôpital: limx→+∞ 1/x−1 = 0.
Limita e finită, deci dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x ln x > x − 1, pentru orice x ∈ (1, +∞).

Fie g:(1, +∞)→R, g(x) = x ln x − x + 1. Atunci g'(x) = ln x + 1 − 1 = ln x.
Pentru x > 1, ln x > 0, deci g'(x) > 0 și g este strict crescătoare pe (1, +∞).
limx→1 g(x) = 1·0 − 1 + 1 = 0, deci g(x) > 0 pentru orice x ∈ (1, +∞).
Așadar x ln x − x + 1 > 0, adică x ln x > x − 1.
Răspuns
x ln x > x − 1 pe (1, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 3x².