Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (vară) 2017 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (2 + 12)·4/5 = 2.

2 + 12 = 42 + 12 = 52.
(52)·(45) = 2010 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Arătați că x₁ + x₂ − 1x₁x₂ = 1, unde x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației x² − 4x + 3 = 0.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = 4 și x₁x₂ = 3.
x₁ + x₂ − 1x₁x₂ = 4 − 13 = 33 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2ˣ⁺¹ = 8.

8 = 2³, deci 2ˣ⁺¹ = 2³.
x + 1 = 3, de unde x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să fie multiplu de 4.

Mulțimea A are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
Multiplii de 4 din A sunt 4 și 8: 2 cazuri favorabile.
p = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,3) și B(4,0). Calculați perimetrul triunghiului OAB.

OA = 3 și OB = 4 (punctele sunt pe axe).
AB = √(4 − 0)² + (0 − 3)² = √16 + 9 = √25 = 5.
Perimetrul: OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12.
Răspuns
P = 12
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin²150° + sin²60° = 1.

sin 150° = sin 30° = 12 și sin 60° = √32.
sin²150° + sin²60° = 14 + 34 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 3223 și B = 111a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 5.

det A = 3223 = 3·3 − 2·2 = 9 − 4 = 5.
Răspuns
det A = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care B·B = 2B.

B·B = 111a·111a = 2a+1a+1a²+1.
2B = 2222a.
Egalând: a + 1 = 2, deci a = 1; verificare: a² + 1 = 2 = 2a pentru a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că det(A·B − B·A) ≥ 0, pentru orice număr real a.

A·B = 53+2a52+3a și B·A = 553+2a2+3a.
A·B − B·A = 02a−22−2a0.
det(A·B − B·A) = 02a−22−2a0 = 0 − (2a − 2)(2 − 2a) = (2a − 2)² ≥ 0, pentru orice a real.
Răspuns
det(A·B − B·A) = (2a − 2)² ≥ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy − 3x − 3y + 12.

a) (5p) Arătați că 1∘3 = 3.

1∘3 = 1·3 − 3·1 − 3·3 + 12 = 3 − 3 − 9 + 12 = 3.
Răspuns
1∘3 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∘y = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = xy − 3x − 3y + 9 + 3.
= x(y − 3) − 3(y − 3) + 3 = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice x, y reale.
Răspuns
x∘y = (x − 3)(y − 3) + 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x, pentru care (x∘x)∘x = 3.

x∘x = (x − 3)² + 3, deci (x∘x)∘x = ((x − 3)² + 3 − 3)(x − 3) + 3 = (x − 3)³ + 3.
(x − 3)³ + 3 = 3 ⇔ (x − 3)³ = 0 ⇔ x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + 6x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3(x² + 2), x ∈ R.

f'(x) = (x³)' + (6x)' + (2)' = 3x² + 6.
= 3(x² + 2), x ∈ R.
Răspuns
f'(x) = 3(x² + 2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→0 f'(x)x + 2 = 3.

limx→0 f'(x)x + 2 = limx→0 3(x² + 2)x + 2.
Funcția e continuă în 0, deci înlocuim: 3(0 + 2)0 + 2 = 62 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −5 ≤ f(x) ≤ 9, pentru orice x ∈ [−1, 1].

f'(x) = 3(x² + 2) > 0 pentru orice x real, deci f este strict crescătoare pe [−1, 1].
f(−1) = −1 − 6 + 2 = −5 și f(1) = 1 + 6 + 2 = 9.
Pentru −1 ≤ x ≤ 1, monotonia dă f(−1) ≤ f(x) ≤ f(1), adică −5 ≤ f(x) ≤ 9.
Răspuns
−5 ≤ f(x) ≤ 9 pe [−1, 1]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x³ − x.