Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (vară) 2021 (Proba E.c) — iulie 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2·(2 − (34):(12)) = 1.

(34):(12) = (34)·2 = 32.
2 − 32 = 12, iar 2·(12) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x + 2 și g:R→R, g(x) = x − 4. Arătați că f(1) + g(1) = 0.

f(1) = 1 + 2 = 3 și g(1) = 1 − 4 = −3.
f(1) + g(1) = 3 + (−3) = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⁴⁻ˣ = 4.

4 = 2², deci 2⁴⁻ˣ = 2² ⇔ 4 − x = 2.
x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Un produs costă 70 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 30%.

Scumpirea: (30100)·70 = 21 de lei.
Prețul nou: 70 + 21 = 91 de lei.
Răspuns
91 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−3,4), B(−3,0) și C(0,4). Calculați perimetrul triunghiului ABC.

AB = √0² + 4² = 4 și AC = √3² + 0² = 3.
BC = √3² + 4² = √25 = 5.
Perimetrul: 4 + 3 + 5 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, în care AC = 2, BC = 4 și unghiul A are măsura egală cu 30°. Arătați că sin B = 14.

Teorema sinusurilor: ACsin B = BCsin A.
sin A = sin30° = 12, deci 2sin B = 41/2 = 8.
sin B = 28 = 14.
Răspuns
sin B = 14
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 3−221, B = 4−331 și I₂ = 1001.

a) (5p) Arătați că det A = 7.

det A = 3−221 = 3·1 − (−2)·2 = 3 + 4 = 7.
Răspuns
7
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că 2B + I₂ = 3A.

2B + I₂ = 8−662 + 1001 = 9−663 = 3·3−221 = 3A.
Răspuns
2B + I₂ = 3A
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care A·X − B·X = I₂ − X.

Ecuația se scrie A·X − B·X + X = I₂, adică (A − B + I₂)·X = I₂.
A − B + I₂ = 01−11, cu determinantul 01−11 = 0 + 1 = 1 ≠ 0, deci matricea e inversabilă.
X = (A − B + I₂)⁻¹ = 1−110. Verificare: 01−11·1−110 = I₂.
Răspuns
X = 1−110
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 3 − (x − 3)(y − 3).

a) (5p) Arătați că 1∗3 = 3.

1∗3 = 3 − (1 − 3)(3 − 3) = 3 − (−2)·0 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗2 = 3 − (x − 3)(2 − 3) = 3 + x − 3 = x, pentru orice x real.
2∗x = 3 − (2 − 3)(x − 3) = 3 + x − 3 = x, pentru orice x real, deci e = 2 este elementul neutru.
Răspuns
x∗2 = 2∗x = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x∗(x + 6) ≥ 3.

x∗(x + 6) = 3 − (x − 3)(x + 6 − 3) = 3 − (x − 3)(x + 3).
3 − (x − 3)(x + 3) ≥ 3 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≤ 0 ⇔ x ∈ [−3, 3].
Răspuns
x ∈ [−3, 3]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 4x + ln x − 5.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x − 4x², x ∈ (0,+∞).

f'(x) = −4x² + 1x − 0.
Aducând la numitorul x²: f'(x) = −4 + xx² = x − 4x².
Răspuns
f'(x) = x − 4x²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = 4; x² > 0, deci semnul lui f' este semnul lui x − 4.
f'(x) ≤ 0 pe (0, 4], deci f e descrescătoare pe (0, 4]; f'(x) ≥ 0 pe [4, +∞), deci f e crescătoare pe [4, +∞).
Răspuns
descrescătoare pe (0, 4], crescătoare pe [4, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ f(x) = limx→+∞ (4x + ln x − 5) = 0 + ∞ − 5 = +∞, deci nu există asimptotă orizontală spre +∞.
limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ (4x² + ln xx − 5x) = 0, deci panta unei asimptote oblice ar fi m = 0.
Atunci n = limx→+∞ (f(x) − 0·x) = +∞, care nu e finit, deci nu există nici asimptotă oblică spre +∞.
Răspuns
f nu are asimptotă spre +∞
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 3x² + 3.