Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (toamnă) 2019 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (32 − 23) : (32 + 23) · 135 = 1.

32 − 23 = 9 − 46 = 56 și 32 + 23 = 9 + 46 = 136.
(56) : (136) · 135 = (56)·(613)·(135) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x − 4. Determinați numărul real m, știind că f(m + 1) = m.

f(m + 1) = 2(m + 1) − 4 = 2m − 2.
2m − 2 = m ⇔ m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₇(2x + 3) = log₇9.

Logaritmul e injectiv: 2x + 3 = 9, deci 2x = 6 și x = 3.
Pentru x = 3, 2x + 3 = 9 > 0, deci x = 3 convine.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}, acesta să fie multiplu de 3.

A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile.
Multiplii de 3 din A sunt 30, 60 și 90: 3 cazuri favorabile.
p = 39 = 13.
Răspuns
p = 13
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(4,1), N(1,5) și P(4,5). Calculați aria triunghiului MNP.

MP e vertical (x = 4) cu MP = 5 − 1 = 4, iar NP e orizontal (y = 5) cu NP = 4 − 1 = 3.
Triunghiul MNP este dreptunghic în P, deci aria = MP·NP2 = 4·32 = 6.
Răspuns
6
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (1√3)·sin60° + sin²45° = 1.

sin60° = √32 și sin45° = √22.
(1√3)·(√32) + (√22)² = 12 + 24 = 12 + 12 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1234 și M(a) = 1+a−aa1−a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = −2.

det A = 1234 = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2.
Răspuns
det A = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că M(a)·M(b) = M(a + b), pentru orice numere reale a și b.

M(a)·M(b) = 1+a−aa1−a·1+b−bb1−b = 1+a+b−b−aa+b1−a−b.
(Termenii ab se reduc: de exemplu (1+a)(1+b) − ab = 1 + a + b.)
Rezultatul este 1+(a+b)−(a+b)a+b1−(a+b) = M(a + b).
Răspuns
M(a)·M(b) = M(a + b)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care M(1)·X·M(2) = A.

Din b): M(a)·M(−a) = M(0) = I₂, deci M(a) e inversabilă și (M(a))⁻¹ = M(−a).
X = (M(1))⁻¹·A·(M(2))⁻¹ = M(−1)·A·M(−2).
M(−1)·A = 01−12·1234 = 3456.
X = 3456·−12−23 = −1118−1728.
Răspuns
X = −1118−1728
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = 2X³ − 4X² + 4X − 3.

a) (5p) Arătați că f(0) = −3.

f(0) = 2·0³ − 4·0² + 4·0 − 3 = 0 − 0 + 0 − 3 = −3.
Răspuns
f(0) = −3
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că numărul a = 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ este natural, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile lui f.

Relațiile lui Viète: x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 42 = 2 și x₁x₂x₃ = 32.
a = 3(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁)x₁x₂x₃ = 3·23/2 = 4, care este număr natural.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

x₁ + x₂ + x₃ = 42 = 2, deci x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁) = 4 − 4 = 0.
Dacă toate rădăcinile ar fi reale, o sumă de pătrate egală cu 0 ar da x₁ = x₂ = x₃ = 0.
Dar f(0) = −3 ≠ 0, deci 0 nu e rădăcină: contradicție. Așadar f nu are toate rădăcinile reale.
Răspuns
f nu are toate rădăcinile reale
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx⁶ + 5.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 5(1 − x³)(1 + x³)(x⁶ + 5)², x ∈ R.

f'(x) = 1·(x⁶ + 5) − x·6x⁵(x⁶ + 5)² = 5 − 5x⁶(x⁶ + 5)².
5 − 5x⁶ = 5(1 − x⁶) = 5(1 − x³)(1 + x³), deci f'(x) = 5(1 − x³)(1 + x³)(x⁶ + 5)².
Răspuns
f'(x) = 5(1 − x³)(1 + x³)(x⁶ + 5)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 situat pe graficul funcției f.

f(0) = 0 și f'(0) = 5·1·125 = 15.
Ecuația tangentei: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = x5.
Răspuns
y = (15)x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor funcției f.

Semnul lui f' e dat de (1 − x³)(1 + x³): f'(x) ≤ 0 pe (−∞, −1], f'(x) ≥ 0 pe [−1, 1] și f'(x) ≤ 0 pe [1, +∞). Deci f e descrescătoare pe (−∞, −1], crescătoare pe [−1, 1] și descrescătoare pe [1, +∞).
f(−1) = −16, f(1) = 16, iar limx→−∞ f(x) = 0 și limx→+∞ f(x) = 0 (gradul numitorului e mai mare).
f e continuă: pe (−∞, −1] ia valorile [−16, 0), pe [−1, 1] valorile [−16, 16], pe [1, +∞) valorile (0, 16]. Mulțimea valorilor este [−16, 16].
Răspuns
[−16, 16]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)eˣ.