Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 tehnologic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din simularea 2026 (Simularea națională a clasei a XII-a — 24.03.2026): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (3 + 35) : 4 + 110 = 1.

3 + 35 = 185, iar (185) : 4 = 1820 = 910.
910 + 110 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x + 6. Determinați numărul real a pentru care f(1) + f(a) = 2f(0).

f(0) = 6, f(1) = 9 și f(a) = 3a + 6.
9 + 3a + 6 = 12, de unde a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √4x − x² = √3x.

Ridicând la pătrat: 4x − x² = 3x, adică x² − x = 0, deci x = 0 sau x = 1.
Ambele valori fac expresiile de sub radical nenegative (0 și 0, respectiv 3 și 3), deci convin.
Răspuns
x = 0 sau x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {0, 1, 2, …, 26}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie pătratul unui număr natural.

Mulțimea A are 27 de elemente: 27 de cazuri posibile.
Pătratele perfecte din A: 0, 1, 4, 9, 16, 25, adică 6 cazuri favorabile.
p = 627 = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(3, 0) și C(4, 7). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

AB = √3² + 4² = 5, AC = √4² + 3² = 5 și BC = √1² + 7² = √50.
BC² = 50 = 25 + 25 = AB² + AC², deci triunghiul e dreptunghic în A; cum AB = AC, e dreptunghic isoscel.
Răspuns
AB = AC = 5, BC² = AB² + AC²
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 2sin60° + √3·sin30° − 3cos30° = 0.

sin60° = √32, sin30° = 12 și cos30° = √32.
2·(√32) + √3·(12) − 3·(√32) = √3 + √32 − 3√32 = √3 − √3 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = 2aaaa−2, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(4)) = 0.

M(4) = 8442.
det(M(4)) = 8·2 − 4·4 = 16 − 16 = 0.
Răspuns
det(M(4)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că M(1)·M(1) − M(1) = 3I₂.

M(1) = 211−1, deci M(1)·M(1) = 5112.
M(1)·M(1) − M(1) = 3003 = 3I₂.
Răspuns
M(1)·M(1) − M(1) = 3I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că numărul N = det(M(n) − 3(M(1))⁻¹) este natural impar, pentru orice număr natural nenul n, unde (M(1))⁻¹ este inversa matricei M(1).

det(M(1)) = −3, deci (M(1))⁻¹ = (13)·111−2 și 3(M(1))⁻¹ = 111−2.
M(n) − 3(M(1))⁻¹ = 2n−1n−1n−1n, deci N = n(2n − 1) − (n − 1)² = n² + n − 1.
N = n(n + 1) − 1, iar n și n + 1 sunt numere consecutive, deci n(n + 1) e par și cel puțin 2: N e natural impar.
Răspuns
N = n(n + 1) − 1, natural impar
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − 3x − 3y + 12.

a) (5p) Arătați că 2 ∗ 5 = 1.

2 ∗ 5 = 2·5 − 3·2 − 3·5 + 12 = 10 − 6 − 15 + 12 = 1.
Răspuns
2 ∗ 5 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 4 = 4x − 3x − 12 + 12 = x, pentru orice x real.
4 ∗ x = 4x − 12 − 3x + 12 = x, pentru orice x real, deci e = 4 este elementul neutru.
Răspuns
e = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care (a − x) ∗ (a − x) = (a + x) ∗ (a + x), pentru orice număr real x.

y ∗ y = y² − 6y + 12, deci egalitatea devine (a − x)² − 6(a − x) + 12 = (a + x)² − 6(a + x) + 12.
(a + x)² − (a − x)² − 12x = 4ax − 12x = 4x(a − 3) = 0, pentru orice x real.
Deci a = 3.
Răspuns
a = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x² − 3x³.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 9 − x²x⁴, x∈(0, +∞).

f'(x) = 2x·x³ − (x² − 3)·3x²(x³)² = x²(2x² − 3x² + 9)x⁶.
f'(x) = 9 − x²x⁴.
Răspuns
f'(x) = 9 − x²x⁴
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = −2 și f'(1) = 8.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y + 2 = 8(x − 1), deci y = 8x − 10.
Răspuns
y = 8x − 10
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 9f(2x) − f(x) ≤ 4, pentru orice x∈[1, 2].

f'(x) = 0 ⇔ x = 3; f e crescătoare pe (0, 3] și descrescătoare pe [3, +∞), deci f(3) = 627 = 29 e valoarea maximă.
Pentru x∈[1, 2]: f e crescătoare pe [1, 2], deci f(x) ≥ f(1) = −2; iar f(2x) ≤ f(3) = 29.
9f(2x) − f(x) ≤ 9·(29) − (−2) = 4.
Răspuns
9f(2x) − f(x) ≤ 4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−3, +∞)→R, f(x) = x + 2 + 2√(x + 3).