Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2017 (Proba E.c) — sesiunea specială 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (2 + 13) : 76 = 2.

2 + 13 = 63 + 13 = 73.
73 : 76 = (73)·(67) = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Arătați că (x₁ + x₂)² − 6x₁x₂ = 1, unde x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației x² − 5x + 4 = 0.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = 5 și x₁x₂ = 4.
(x₁ + x₂)² − 6x₁x₂ = 25 − 24 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √3x − 5 = 2.

Ridicăm la pătrat: 3x − 5 = 4, deci 3x = 9 și x = 3.
Verificare: √9 − 5 = √4 = 2, deci x = 3 convine.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 25%, prețul unui televizor este 600 de lei. Determinați prețul televizorului înainte de ieftinire.

Fie p prețul inițial: p − (25100)·p = 600, adică (34)·p = 600.
p = 600·(43) = 800 de lei.
Răspuns
800 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele O(0,0) și M(8,6). Calculați distanța dintre punctele O și M.

OM = √(8 − 0)² + (6 − 0)² = √64 + 36 = √100.
OM = 10.
Răspuns
OM = 10
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin²135° + sin²45° = 1.

sin135° = sin(180° − 45°) = sin45° = √22.
sin²135° + sin²45° = (√22)² + (√22)² = 12 + 12 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1202 și B = −1−220.

a) (5p) Arătați că det A = 2.

det A = 1202 = 1·2 − 0·2 = 2.
Răspuns
det A = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că (A + B)(B − A) = 000−12.

A + B = 0022 și B − A = −2−42−2.
(A + B)(B − A) = 002·(−2) + 2·22·(−4) + 2·(−2) = 000−12.
Răspuns
(A + B)(B − A) = 000−12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R), știind că A·X = B.

det A = 2 ≠ 0, deci A e inversabilă și A⁻¹ = (12)·2−201 = 1−1012.
X = A⁻¹·B = 1−1012·−1−220 = −3−210.
Verificare: A·X = 1·(−3) + 2·11·(−2) + 00 + 2·10 = −1−220 = B.
Răspuns
X = −3−210
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = x + y − 3.

a) (5p) Arătați că 1∗2 = 0.

1∗2 = 1 + 2 − 3 = 3 − 3 = 0.
Răspuns
1∗2 = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care (x²)∗x = −1.

(x²)∗x = x² + x − 3, deci ecuația devine x² + x − 3 = −1, adică x² + x − 2 = 0.
Δ = 1 + 8 = 9, deci x = −1 − 32 = −2 sau x = −1 + 32 = 1.
Răspuns
x = −2 sau x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care n∗n∗n∗n < 3.

n∗n = 2n − 3, (n∗n)∗n = 3n − 6, iar n∗n∗n∗n = 3n − 6 + n − 3 = 4n − 9.
4n − 9 < 3 ⇔ 4n < 12 ⇔ n < 3.
Cum n este natural nenul, n = 1 sau n = 2.
Răspuns
n ∈ {1, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + 2x² + x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x + 1)(3x + 1), x∈R.

f'(x) = (x³)' + (2x²)' + (x)' = 3x² + 4x + 1.
(x + 1)(3x + 1) = 3x² + x + 3x + 1 = 3x² + 4x + 1, deci f'(x) = (x + 1)(3x + 1).
Răspuns
f'(x) = (x + 1)(3x + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(x)x·f'(x) = 13.

f(x)x·f'(x) = x³ + 2x² + xx(x + 1)(3x + 1) = x³ + 2x² + x3x³ + 4x² + x.
Împărțim cu x³: 1 + 2/x + 1/x²(1 + 1/x)(3 + 1/x), care tinde la 11·3 = 13 când x → +∞.
Răspuns
13
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) ≥ −427, pentru orice x∈[−1, +∞).

f'(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = −13.
Pe [−1, −13], f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare; pe [−13, +∞), f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare.
Deci f(x) ≥ f(−13) pentru orice x ∈ [−1, +∞), iar f(−13) = −127 + 29 − 13 = −1 + 6 − 927 = −427.
În concluzie, f(x) ≥ −427 pentru orice x ∈ [−1, +∞).
Răspuns
f(x) ≥ −427
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x + 1.