Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (vară) 2019 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √7(√7 + 1) − √7 = 7.

√7(√7 + 1) = √7·√7 + √7 = 7 + √7.
7 + √7 − √7 = 7.
Răspuns
7
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 6x + 8. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy.

Pe axa Oy avem x = 0, iar f(0) = 8.
Punctul de intersecție este (0, 8).
Răspuns
(0, 8)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(x² + 9) = 2.

x² + 9 = 5² = 25, deci x² − 16 = 0.
x = −4 sau x = 4; pentru ambele x² + 9 = 25 > 0, deci convin.
Răspuns
x = −4 sau x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 40%, prețul unui obiect este 300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Notăm cu x prețul inițial: x − (40100)·x = 300, adică (60100)·x = 300.
x = 300·10060 = 500 de lei.
Răspuns
500 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,2), B(−3,2) și C(0,6). Determinați, în triunghiul ABC, lungimea medianei din vârful C.

Mijlocul lui AB: M(3 − 32, 2 + 22) = M(0, 2).
CM = √(0 − 0)² + (6 − 2)² = √16 = 4.
Răspuns
CM = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (√32)·sin 60° − (√22)·sin 45° = 14.

sin 60° = √32 și sin 45° = √22.
(√32)·(√32) − (√22)·(√22) = 34 − 24 = 14.
Răspuns
14
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 6−103−5, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 0.

det A = 6−103−5 = 6·(−5) − 3·(−10) = −30 + 30 = 0.
Răspuns
det A = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că M(a)·M(b) = M(a + b + ab), pentru orice numere reale a și b.

A·A = 36−30−60+5018−15−30+25 = 6−103−5 = A.
M(a)·M(b) = (I₂ + aA)(I₂ + bA) = I₂ + aA + bA + ab·A·A = I₂ + aA + bA + abA.
= I₂ + (a + b + ab)A = M(a + b + ab).
Răspuns
M(a)·M(b) = M(a + b + ab)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care M(1) + M(2) + … + M(2019) = 2019M(a).

M(1) + M(2) + … + M(2019) = (I₂ + A) + (I₂ + 2A) + … + (I₂ + 2019A) = 2019I₂ + (1 + 2 + … + 2019)A.
1 + 2 + … + 2019 = 2019·20202 = 2019·1010.
Suma = 2019(I₂ + 1010A) = 2019M(1010), deci a = 1010.
Răspuns
a = 1010
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = mX³ + 2X² − mX − 2, unde m este număr real nenul.

a) (5p) Arătați că f(1) = 0, pentru orice număr real nenul m.

f(1) = m·1³ + 2·1² − m·1 − 2 = m + 2 − m − 2 = 0.
Răspuns
f(1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru m = 3, determinați rădăcinile polinomului f.

Pentru m = 3: f = 3X³ + 2X² − 3X − 2 = X²(3X + 2) − (3X + 2) = (3X + 2)(X² − 1).
f = (X − 1)(X + 1)(3X + 2), deci rădăcinile sunt 1, −1 și −23.
Răspuns
x₁ = −1, x₂ = −23, x₃ = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real nenul m pentru care 1x₁ + 1x₂ + 1x₃ = −4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = −mm = −1 și x₁x₂x₃ = 2m.
1x₁ + 1x₂ + 1x₃ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃x₁x₂x₃ = −12/m = −m2.
−m2 = −4, deci m = 8.
Răspuns
m = 8
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 3x + 5.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3(x − 1)(x + 1), x∈R.

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1).
= 3(x − 1)(x + 1).
Răspuns
f'(x) = 3(x − 1)(x + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că funcția f este convexă pe [0, +∞).

f''(x) = 6x, x∈R.
f''(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ [0, +∞), deci f este convexă pe [0, +∞).
Răspuns
f''(x) = 6x ≥ 0 pe [0, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) ≤ 7, pentru orice x ∈ (−∞, 1].

f'(x) ≥ 0 pe (−∞, −1], deci f e crescătoare pe (−∞, −1]; f'(x) ≤ 0 pe [−1, 1], deci f e descrescătoare pe [−1, 1].
Așadar, pe (−∞, 1], valoarea maximă este f(−1) = −1 + 3 + 5 = 7.
Deci f(x) ≤ f(−1) = 7, pentru orice x ∈ (−∞, 1].
Răspuns
f(x) ≤ 7
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √3x² + 6x + 7.