Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (iunie) 2022 (Proba E.c) — iunie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 5 − 3·(1 + 13) = 1.

1 + 13 = 43, deci 3·(43) = 4.
5 − 4 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 2.

f(a) = a − 4 = 2, de unde a = 6.
Răspuns
a = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √4 + 2x = 2.

Ridicând la pătrat: 4 + 2x = 4, deci x = 0.
Pentru x = 0, 4 + 2x = 4 ≥ 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Un produs costă 90 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 10%.

Scumpirea: (10100)·90 = 9 lei.
Prețul după scumpire: 90 + 9 = 99 de lei.
Răspuns
99 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 4), B(5, 0) și M(a, b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că punctul M este mijlocul segmentului AB.

a = 1 + 52 și b = 4 + 02.
a = 3 și b = 2.
Răspuns
a = 3, b = 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, în care măsura unghiului C este egală cu 30° și AB = 3. Arătați că BC = 6.

În triunghiul dreptunghic în A, AB e cateta opusă unghiului C: sin C = ABBC.
12 = 3BC, de unde BC = 6.
Răspuns
BC = 6
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 2143, B = 2−213 și C = 2−123.

a) (5p) Arătați că det A = 2.

det A = 2·3 − 1·4 = 6 − 4 = 2.
Răspuns
det A = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A + 2B = 3C.

2B = 4−426, deci A + 2B = 6−369.
Aceasta e 3·2−123 = 3C.
Răspuns
A + 2B = 3C
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(B·C + x(A − C)) = 0.

B·C = 0−888 și A − C = 0220.
B·C + x(A − C) = 0−8+2x8+2x8, cu determinantul 0·8 − (2x − 8)(2x + 8) = (8 − 2x)(8 + 2x).
(8 − 2x)(8 + 2x) = 0, de unde x = 4 sau x = −4.
Răspuns
x = −4 sau x = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (x + 2y)(y + 2x) + 2.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 1 = 11.

1 ∗ 1 = (1 + 2·1)(1 + 2·1) + 2 = 3·3 + 2 = 11.
Răspuns
1 ∗ 1 = 11
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 0 = 4.

x ∗ 0 = (x + 0)(0 + 2x) + 2 = 2x² + 2.
2x² + 2 = 4 ⇔ x² = 1, deci x = −1 sau x = 1.
Răspuns
x = −1 sau x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x ∗ (1x) > 7, pentru orice număr real nenul x.

x ∗ (1x) = (x + 2x)(1x + 2x) + 2.
Desfăcând parantezele: x·(1x) + x·2x + (2x)·(1x) + (2x)·2x = 1 + 2x² + 2x² + 4.
x ∗ (1x) = 2x² + 2x² + 7 = 2(x² + 1x²) + 7.
Pentru x nenul, x² + 1x² > 0, deci x ∗ (1x) > 7.
Răspuns
x ∗ (1x) = 2(x² + 1x²) + 7 > 7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 10x²(x² + 2x − 3), x∈R.

f'(x) = 2·5x⁴ + 5·4x³ − 10·3x² = 10x⁴ + 20x³ − 30x².
Scoatem factor comun 10x²: f'(x) = 10x²(x² + 2x − 3).
Răspuns
f'(x) = 10x²(x² + 2x − 3)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 1 și f'(0) = 0.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 1.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x∈[−3, +∞).

x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1), deci f'(x) = 0 ⇔ x = −3, x = 0 sau x = 1.
Pe [−3, 1], f'(x) ≤ 0 (10x² ≥ 0, iar (x + 3)(x − 1) ≤ 0), deci f e descrescătoare; pe [1, +∞), f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare.
Deci pe [−3, +∞) valoarea minimă e f(1) = 2 + 5 − 10 + 1 = −2: f(x) ≥ −2.
2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 1 ≥ −2, adică 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x∈[−3, +∞).
Răspuns
Minimul pe [−3, +∞) e f(1) = −2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1, +∞)→R, f(x) = 6x + 2x + 1.