Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 tehnologic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din simularea 2022 (Simularea națională a clasei a XII-a — martie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ), știind că a₃ = 6 și a₄ = 9.

Rația: r = a₄ − a₃ = 3.
a₃ = a₁ + 2r, deci a₁ = 6 − 6 = 0.
Răspuns
a₁ = 0
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x² + 2x − 3 și g:R→R, g(x) = x − 3. Determinați numerele reale a pentru care f(a) = g(a).

a² + 2a − 3 = a − 3 ⇔ a² + a = 0 ⇔ a(a + 1) = 0.
a = −1 sau a = 0.
Răspuns
a = −1 sau a = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x + 3) = 2.

x + 3 = 3² = 9, deci x = 6.
Pentru x = 6, x + 3 = 9 > 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) În urma unei scumpiri cu 30%, prețul unui produs a crescut cu 60 de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.

Dacă x e prețul inițial: (30100)·x = 60, deci x = 200 de lei.
După scumpire: 200 + 60 = 260 de lei.
Răspuns
260 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4, 1), B(2, 3) și dreapta d de ecuație y = 2x + a, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că mijlocul segmentului AB aparține dreptei d.

Mijlocul lui AB este M(−1, 2).
M∈d ⇔ 2 = 2·(−1) + a, deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, cu AB = AC, BC = 12 și măsura unghiului B egală cu 45°. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 36.

Triunghiul e isoscel, deci C = B = 45° și A = 90°: e dreptunghic isoscel, cu ipotenuza BC.
AB = AC = BC√2 = 6√2.
Aria = AB·AC2 = 6√2·6√22 = 36.
Răspuns
Aria = 36
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = xx12x+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 0.

A(0) = 0011.
det(A(0)) = 0·1 − 0·1 = 0.
Răspuns
det(A(0)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care 2A(4) + A(−2) = aA(2).

2A(4) + A(−2) = 2·4419 + −2−21−3 = 66315.
Aceasta e 3·2215 = 3A(2), deci a = 3.
Răspuns
a = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, dacă X∈M₂(R) astfel încât X·A(1) = A(m), unde m este număr întreg, atunci matricea X are toate elementele numere întregi.

A(1) = 1113, cu det(A(1)) = 2, deci (A(1))⁻¹ = 32−12−1212.
X = A(m)·(A(1))⁻¹ = mm12m+1·32−12−1212 = m01−mm.
Cum m e întreg, toate elementele lui X sunt întregi.
Răspuns
X = m01−mm
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (x + y)(x − 1)(y − 1) + 1.

a) (5p) Arătați că 2 ∗ 1 = 1.

2 ∗ 1 = (2 + 1)(2 − 1)(1 − 1) + 1 = 3·1·0 + 1 = 1.
Răspuns
2 ∗ 1 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

x ∗ y = (x + y)(x − 1)(y − 1) + 1 = (y + x)(y − 1)(x − 1) + 1 = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x ∗ y = y ∗ x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care n ∗ (1 − n) ≥ n².

n ∗ (1 − n) = (n + 1 − n)(n − 1)(−n) + 1 = −n² + n + 1.
−n² + n + 1 ≥ n² ⇔ 2n² − n − 1 ≤ 0 ⇔ (2n + 1)(n − 1) ≤ 0, adică n∈[−12, 1].
Cu n natural: n = 0 sau n = 1.
Răspuns
n∈{0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x + 3x² + ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x² − x − 6x³, x∈(0, +∞).

(x + 3x²)' = x² − (x + 3)·2xx⁴ = −x − 6x³.
f'(x) = −x − 6x³ + 1x = −x − 6 + x²x³ = x² − x − 6x³.
Răspuns
f'(x) = x² − x − 6x³
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 4 și f'(1) = −6.
Tangenta: y − 4 = −6(x − 1), adică y = −6x + 10.
Răspuns
y = −6x + 10
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ln(x3) ≥ 23 − 1x − 3x², pentru orice x∈(0, +∞).

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), deci f'(x) = 0 ⇔ x = 3; f e descrescătoare pe (0, 3] și crescătoare pe [3, +∞).
Deci f(x) ≥ f(3) = 69 + ln3 = 23 + ln3, pentru orice x > 0.
x + 3x² + ln x ≥ 23 + ln3 ⇔ ln x − ln3 ≥ 23 − x + 3x², adică ln(x3) ≥ 23 − 1x − 3x².
Răspuns
f(x) ≥ f(3)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + eˣ2 + 1.