Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 tehnologic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din simularea 2021 (Simularea națională a clasei a XII-a — 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 + 3i)² − 6i = −8, unde i² = −1.

(1 + 3i)² = 1 + 6i + 9i² = 1 + 6i − 9 = −8 + 6i.
(1 + 3i)² − 6i = −8 + 6i − 6i = −8.
Răspuns
−8
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x + 1 și g:R→R, g(x) = 3x − 7. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3x − 7 ⇔ 2x = 8, deci x = 4.
y = f(4) = 5.
Răspuns
(4, 5)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √3 − x = 2x.

Condiții: 3 − x ≥ 0 și 2x ≥ 0. Ridicând la pătrat: 3 − x = 4x², adică 4x² + x − 3 = 0.
(x + 1)(4x − 3) = 0, deci x = −1 sau x = 34.
x = −1 nu convine (2x < 0); x = 34 convine: √94 = 32 = 2·(34).
Răspuns
x = 34
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5} este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A.

Submulțimi cu două elemente: C(5,2) = 5!2!·3! = 10.
Submulțimi cu trei elemente: C(5,3) = 5!3!·2! = 10, deci numerele sunt egale.
Răspuns
C(5,2) = C(5,3) = 10
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,2), B(−1,0) și C(0,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că dreapta AB conține punctul C.

Panta lui AB: 2 − 01 − (−1) = 1, deci AB: y − 0 = 1·(x + 1), adică y = x + 1.
C(0,a) ∈ AB ⇔ a = 0 + 1, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră numărul real x ∈ (0, π2) astfel încât cos x + sin(π6) = 1. Calculați sin x.

sin(π6) = 12, deci cos x = 12.
sin²x = 1 − cos²x = 34 și, cum x ∈ (0, π2), sin x > 0, deci sin x = √32.
Răspuns
sin x = √32
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 24−1−2, B = −2−613 și M(x) = A + xB, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 0.

det A = 24−1−2 = 2·(−2) − 4·(−1) = −4 + 4 = 0.
Răspuns
det A = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că M(x)·M(1) = xM(1), pentru orice număr real x.

M(x) = 2−2x4−6xx−13x−2, iar M(1) = 0−201.
M(x)·M(1) = 0−2(2−2x)+(4−6x)0−2(x−1)+(3x−2) = 0−2x0x = x·0−201 = xM(1).
Răspuns
M(x)·M(1) = xM(1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n, știind că M(4)·M(3)·M(2)·M(1) = nM(1).

Din punctul b): M(2)·M(1) = 2M(1).
M(3)·(2M(1)) = 2·3M(1), apoi M(4)·(6M(1)) = 6·4M(1) = 24M(1).
24M(1) = nM(1) și M(1) nu e matricea nulă, deci n = 24.
Răspuns
n = 24
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y + x²y².

a) (5p) Arătați că 1∗2 = 7.

1∗2 = 1 + 2 + 1²·2² = 1 + 2 + 4 = 7.
Răspuns
7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗0 = x + 0 + x²·0 = x, pentru orice număr real x.
0∗x = 0 + x + 0·x² = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru.
Răspuns
x∗0 = 0∗x = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele întregi x pentru care (−2)∗x ≤ 3.

(−2)∗x = −2 + x + 4x², deci inecuația devine 4x² + x − 5 ≤ 0.
Rădăcinile sunt −54 și 1, deci x ∈ [−54, 1].
Numerele întregi din interval: −1, 0 și 1.
Răspuns
x ∈ {−1, 0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + x⁴ − 2x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ + 4x³ − 2, x∈R.

f'(x) = (eˣ)' + (x⁴)' − (2x)' + (2)'.
= eˣ + 4x³ − 2 + 0 = eˣ + 4x³ − 2.
Răspuns
f'(x) = eˣ + 4x³ − 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 1 + 0 − 0 + 2 = 3 și f'(0) = 1 + 0 − 2 = −1.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = −x + 3.
Răspuns
y = −x + 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este convexă.

f''(x) = eˣ + 12x², x∈R.
eˣ > 0 și 12x² ≥ 0, deci f''(x) > 0 pentru orice x real, iar f este convexă.
Răspuns
f''(x) = eˣ + 12x² > 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x − 1x.