Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (toamnă) 2021 (Proba E.c) — august 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 4 și rația este r = 5.

a₃ = a₁ + 2r = 4 + 2·5.
a₃ = 4 + 10 = 14.
Răspuns
a₃ = 14
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − x − 1. Arătați că f(0) = f(1).

f(0) = 0 − 0 − 1 = −1.
f(1) = 1 − 1 − 1 = −1, deci f(0) = f(1).
Răspuns
f(0) = f(1) = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(3x + 4) = log₄16.

Logaritmul e injectiv: 3x + 4 = 16, deci 3x = 12.
x = 4; verificare: 3·4 + 4 = 16 > 0, deci convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o scumpire cu 25%, un produs costă 350 de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

Fie x prețul inițial: x + (25100)·x = 350, adică 5x4 = 350.
x = 350·45 = 280.
Răspuns
280 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4,1) și B(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că punctul O este mijlocul segmentului AB.

O(0,0) este mijlocul lui AB: −4 + a2 = 0 și 1 + b2 = 0.
a = 4 și b = −1.
Răspuns
a = 4, b = −1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul isoscel ABC, dreptunghic în A. Știind că aria triunghiului ABC este egală cu 8, determinați lungimea laturii AB.

Triunghiul e dreptunghic isoscel cu unghiul drept în A, deci AB = AC.
Aria = AB·AC2 = AB²2 = 8, deci AB² = 16 și AB = 4.
Răspuns
AB = 4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 5−2−11 și B(x) = x−2x1−1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 3.

det A = 5−2−11 = 5·1 − (−2)·(−1) = 5 − 2 = 3.
Răspuns
det A = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că 3B(2) + B(6) = 4B(3).

B(2) = 2−41−1 și B(6) = 6−121−1.
3B(2) + B(6) = 6−123−3 + 6−121−1 = 12−244−4.
4B(3) = 4·3−61−1 = 12−244−4, deci egalitatea este adevărată.
Răspuns
3B(2) + B(6) = 4B(3)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care (B(−x) − B(x))·(B(−x) + B(x)) = A + B(3).

B(−x) − B(x) = −2x4x00 și B(−x) + B(x) = 002−2.
Produsul lor este 8x−8x00.
A + B(3) = 5−2−11 + 3−61−1 = 8−800.
Din 8x = 8 și −8x = −8 obținem x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 3x + 4y − 25.

a) (5p) Arătați că 3∘4 = 0.

3∘4 = 3·3 + 4·4 − 25 = 9 + 16 − 25 = 0.
Răspuns
3∘4 = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care (2x)∘x = 5.

(2x)∘x = 6x + 4x − 25 = 10x − 25.
10x − 25 = 5, deci 10x = 30 și x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele întregi m pentru care m²∘1 ≥ 1∘m².

m²∘1 = 3m² + 4 − 25 = 3m² − 21 și 1∘m² = 3 + 4m² − 25 = 4m² − 22.
3m² − 21 ≥ 4m² − 22 ⇔ 1 − m² ≥ 0 ⇔ m² ≤ 1 ⇔ m ∈ [−1, 1].
m întreg, deci m ∈ {−1, 0, 1}.
Răspuns
m ∈ {−1, 0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−13, +∞)→R, f(x) = 2x3x + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(3x + 1)², x ∈ (−13, +∞).

f'(x) = 2(3x + 1) − 2x·3(3x + 1)².
Numărătorul: 6x + 2 − 6x = 2, deci f'(x) = 2(3x + 1)².
Răspuns
f'(x) = 2(3x + 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 2x3x + 1 = limx→+∞ 23 + 1/x = 23.
Limita e finită, deci dreapta y = 23 este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 23
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că funcția f este concavă.

f''(x) = 2·(−2)·3(3x + 1)³ = −12(3x + 1)³.
Pentru x > −13, 3x + 1 > 0, deci f''(x) < 0 și f e concavă pe (−13, +∞).
Răspuns
f''(x) = −12(3x + 1)³ < 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + ln x − 1.