Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 tehnologic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din simularea 2023 (Simularea națională a clasei a XII-a — 28.03.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 − 0,2) : 2 + 0,3·2 = 1.

(1 − 0,2) : 2 = 0,8 : 2 = 0,4 și 0,3·2 = 0,6.
0,4 + 0,6 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x² − 3x + 2 și g:R→R, g(x) = x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f(2) = g(2).

f(2) = 4 − 6 + 2 = 0 și g(2) = 2 + m.
0 = 2 + m, de unde m = −2.
Răspuns
m = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7ˣ⁺³ = 49ˣ.

49ˣ = 7²ˣ, deci 7ˣ⁺³ = 7²ˣ și x + 3 = 2x.
x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 30%, un produs costă 210 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Dacă x e prețul inițial: x − (30100)x = 210, adică (70100)x = 210.
x = 300 de lei.
Răspuns
300 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 5) și B(2, −1). Arătați că triunghiul OMB este dreptunghic în O, unde M este mijlocul segmentului AB.

M, mijlocul lui AB, este M(1, 2), deci OM = √5.
OB = √4 + 1 = √5 și MB = √1 + 9 = √10.
MB² = 10 = OB² + OM², deci triunghiul OMB e dreptunghic în O.
Răspuns
MB² = OB² + OM²
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că √3·sin45° + 2sin30° − √2·cos30° = 1.

sin45° = √22, sin30° = 12 și cos30° = √32.
√3·(√22) + 2·(12) − √2·(√32) = √62 + 1 − √62 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x+2−22x−1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 8.

A(2) = 4−221.
det(A(2)) = 4·1 − (−2)·2 = 4 + 4 = 8.
Răspuns
det(A(2)) = 8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(0)·A(0) = A(x).

A(0) = 2−22−1, deci A(0)·A(0) = 0−22−3.
Egalitatea cu A(x) cere x + 2 = 0 și x − 1 = −3, deci x = −2.
Răspuns
x = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, dacă x și y sunt numere reale distincte astfel încât det(A(x)) = det(A(y)), atunci x + y = −1.

det(A(x)) = (x + 2)(x − 1) + 4 = x² + x + 2.
x² + x + 2 = y² + y + 2 ⇔ (x − y)(x + y + 1) = 0.
x ≠ y, deci x + y + 1 = 0, adică x + y = −1.
Răspuns
x + y = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = 4xy − 3x + 2y − 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 2 = 8.

1 ∗ 2 = 4·1·2 − 3·1 + 2·2 − 1 = 8 − 3 + 4 − 1 = 8.
Răspuns
1 ∗ 2 = 8
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x ∗ (−1) = 4.

x ∗ (−1) = −4x − 3x − 2 − 1 = −7x − 3.
−7x − 3 = 4, deci −7x = 7 și x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care x ∗ a = −x, pentru orice număr real x.

x ∗ a = 4ax − 3x + 2a − 1, deci egalitatea devine 4ax − 2x + 2a − 1 = 0, adică 2x(2a − 1) + (2a − 1) = 0, pentru orice x.
Deci 2a − 1 = 0 și a = 12.
Răspuns
a = 12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x − 1 + 8x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(x² − 4)x², x∈(0, +∞).

f'(x) = 2 − 8x² = 2x² − 8x² = 2(x² − 4)x².
Răspuns
f'(x) = 2(x² − 4)x²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

f(2) = 4 − 1 + 4 = 7 și f'(2) = 0.
Tangenta: y − 7 = 0·(x − 2), adică y = 7.
Răspuns
y = 7
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(1 − x) ≥ f(1 + x), pentru orice x∈(0, 1).

f'(x) = 0 ⇔ x = 2 (pe (0, +∞)); pe (0, 2], f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare pe (0, 2].
Pentru x∈(0, 1): 0 < 1 − x < 1 + x < 2, deci f(1 − x) ≥ f(1 + x).
Răspuns
f descrescătoare pe (0, 2]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² + 4x + 2.