Rezolvare BAC 2023 Matematică M3 pedagogic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din simularea 2023 (Simularea națională a clasei a XII-a — 28.03.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √2(2√2 − √6) + 2√3 = 4.

√2·2√2 = 4 și √2·√6 = √12 = 2√3, deci √2(2√2 − √6) = 4 − 2√3.
4 − 2√3 + 2√3 = 4.
Răspuns
4
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 1. Determinați numărul real pozitiv a pentru care f(a) este media geometrică a numerelor f(0) și f(4).

f(a) = 2a + 1, f(0) = 1 și f(4) = 9.
Media geometrică: √1·9 = 3, deci 2a + 1 = 3 și a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2·3ˣ⁺¹ = 18.

3ˣ⁺¹ = 9 = 3², deci x + 1 = 2.
x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Prețul unui produs este 300 de lei. După o scumpire cu p% prețul produsului devine 360 de lei. Calculați p.

300 + (p100)·300 = 360, deci (p100)·300 = 60.
3p = 60, deci p = 20.
Răspuns
p = 20
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 2), B(1, 1) și C(3, m). Determinați numărul real m pentru care punctul C aparține dreptei AB.

Dreapta AB: x + 12 = y − 2−1, adică x + 2y − 3 = 0.
C∈AB ⇔ 3 + 2m − 3 = 0, deci m = 0.
Răspuns
m = 0
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 6 și măsura unghiului C este egală cu 60°. Arătați că BC = 4√3.

În triunghiul dreptunghic în A, AB e opusă unghiului C: sin C = ABBC.
√32 = 6BC, deci BC = 12√3 = 4√3.
Răspuns
BC = 4√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∘ y = (13)xy − x − y + 6.

1. (5p) Arătați că 1 ∘ (−3) = 7.

1 ∘ (−3) = (13)·1·(−3) − 1 + 3 + 6 = −1 − 1 + 3 + 6 = 7.
Răspuns
1 ∘ (−3) = 7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că e = 6 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x ∘ 6 = (13)·6x − x − 6 + 6 = 2x − x = x, pentru orice x real.
6 ∘ x = (13)·6x − 6 − x + 6 = x, pentru orice x real, deci e = 6 e elementul neutru.
Răspuns
e = 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația √x ∘ 6 = 1.

6 e elementul neutru, deci √x ∘ 6 = √x.
√x = 1, deci x = 1, care convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care 2 ∘ n < (2n) ∘ 1 + 1.

2 ∘ n = 2n3 − 2 − n + 6 și (2n) ∘ 1 = 2n3 − 2n − 1 + 6.
Inegalitatea devine 2n3 − n + 4 < 2n3 − 2n + 6, adică n < 2.
Cu n natural: n = 0 sau n = 1.
Răspuns
n∈{0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Demonstrați că x ∘ y = (13)·(x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

(13)(x − 3)(y − 3) = (13)(xy − 3x − 3y + 9) = (13)xy − x − y + 3.
Adunând 3: (13)xy − x − y + 6 = x ∘ y.
Răspuns
x ∘ y = (13)(x − 3)(y − 3) + 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Calculați √1 ∘ √2 ∘ … ∘ √2023.

Din 5: x ∘ 3 = 3 ∘ x = 3, pentru orice x real.
Printre termeni se află √9 = 3. Legea e asociativă: (√1 ∘ … ∘ √8) ∘ 3 ∘ (√10 ∘ … ∘ √2023) = 3 ∘ (√10 ∘ … ∘ √2023) = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = −1221, B(a) = a+211a, I₂ = 1001, unde a este un număr real.

1. (5p) Arătați că A·A = 5I₂.

A·A = 1+4−2+2−2+24+1 = 5005 = 5I₂.
Răspuns
A·A = 5I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(B(a) + A) = 0.

B(a) + A = a+133a+1, deci det(B(a) + A) = (a + 1)² − 9.
(a + 1)² = 9, deci a = −4 sau a = 2.
Răspuns
a = −4 sau a = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că B(q − 1) este inversabilă pentru orice număr rațional q.

B(q − 1) = q+111q−1, deci det(B(q − 1)) = q² − 1 − 1 = q² − 2.
q² − 2 = 0 doar pentru q = ±√2, care nu sunt raționale; deci pentru q rațional det ≠ 0 și B(q − 1) e inversabilă.
Răspuns
det(B(q − 1)) = q² − 2 ≠ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale a pentru care B(a)·B(a) = B(54).

B(a)·B(a) = (a+2)²+12a+22a+21+a² și B(54) = 1341154.
2a + 2 = 1 dă a = −12; verificare: (32)² + 1 = 134 și 1 + 14 = 54.
Deci a = −12.
Răspuns
a = −12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale pozitive x pentru care B(log₂x) − B(log₄x) = I₂.

B(log₂x) − B(log₄x) = log₂x − log₄x00log₂x − log₄x.
Egalitatea cu I₂ cere log₂x − log₄x = 1; cum log₄x = (12)log₂x, rezultă (12)log₂x = 1, deci log₂x = 2.
x = 4, care convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care X·B(0) = A.

Cu X = abcd și B(0) = 2110: X·B(0) = 2a+ba2c+dc.
Egalitatea cu A: a = 2, 2a + b = −1, c = 1, 2c + d = 2, deci b = −5 și d = 0.
X = 2−510.
Răspuns
X = 2−510
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri