Rezolvare BAC 2020 Matematică M3 pedagogic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea specială 2020 (Proba E.c) — sesiunea specială 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați rația progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = 2 și b₄ = −2.

b₄ = b₁·q³, deci 2q³ = −2 și q³ = −1.
q = −1.
Răspuns
q = −1
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 6x + 3. Arătați că f(0) = f(6).

f(0) = 3.
f(6) = 36 − 36 + 3 = 3, deci f(0) = f(6).
Răspuns
f(0) = f(6) = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x − 2) = 1.

log₃(x − 2) = 1 ⇔ x − 2 = 3¹ = 3, deci x = 5.
Pentru x = 5, x − 2 = 3 > 0, deci x = 5 convine.
Răspuns
x = 5
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, 7, 8, 9}, acesta să fie mai mic sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii A.

A are 6 elemente, deci 6 cazuri posibile.
Media aritmetică: 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 96 = 306 = 5; numerele cel mult egale cu 5 sunt 1, 2, 3: 3 cazuri favorabile.
p = 36 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreptele d₁ și d₂ de ecuații y = 3x − 1, respectiv y = ax + 5, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că dreptele d₁ și d₂ sunt perpendiculare.

Pantele sunt m₁ = 3 și m₂ = a.
d₁ ⊥ d₂ ⇔ m₁·m₂ = −1 ⇔ 3a = −1, deci a = −13.
Răspuns
a = −13
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A și punctul D ∈ AC, piciorul bisectoarei unghiului B. Știind că BD = CD, arătați că m(∢ACB) = 30°.

BD este bisectoare, deci m(∢DBC) = (12)·m(∢ABC).
BD = CD, deci triunghiul BDC e isoscel și m(∢ACB) = m(∢DBC) = (12)·m(∢ABC), adică m(∢ABC) = 2·m(∢ACB).
Triunghiul e dreptunghic în A: m(∢ABC) + m(∢ACB) = 90°, deci 3·m(∢ACB) = 90° și m(∢ACB) = 30°.
Răspuns
m(∢ACB) = 30°
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + ay + 5, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că, pentru orice număr real a, 4∗0 = 9.

4∗0 = 4 + a·0 + 5 = 4 + 5 = 9, pentru orice număr real a.
Răspuns
4∗0 = 9
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că, pentru a = 1, legea de compoziție „∗” este asociativă.

Pentru a = 1: x∗y = x + y + 5, deci (x∗y)∗z = (x + y + 5) + z + 5 = x + y + z + 10.
x∗(y∗z) = x + (y + z + 5) + 5 = x + y + z + 10 = (x∗y)∗z, pentru orice numere reale x, y, z, deci legea e asociativă.
Răspuns
(x∗y)∗z = x∗(y∗z) = x + y + z + 10
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real a pentru care legea de compoziție „∗” este comutativă.

x∗y = y∗x ⇔ x + ay + 5 = y + ax + 5, pentru orice numere reale x și y.
Echivalent: (a − 1)(x − y) = 0, pentru orice x și y, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că, dacă legea de compoziție „∗” are element neutru, atunci a = 1.

Dacă e este elementul neutru, atunci e∗0 = 0, adică e + a·0 + 5 = 0, deci e = −5.
De asemenea 0∗e = 0, adică 0 + a·(−5) + 5 = 0, deci −5a + 5 = 0 și a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Pentru a = 1, determinați numerele reale x pentru care (x∗x²)∗(x∗x²) = 15.

Pentru a = 1: x∗x² = x + x² + 5.
(x∗x²)∗(x∗x²) = (x + x² + 5) + (x + x² + 5) + 5 = 2x² + 2x + 15.
2x² + 2x + 15 = 15 ⇔ 2x(x + 1) = 0, deci x = −1 sau x = 0.
Răspuns
x ∈ {−1, 0}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Pentru a = −3, determinați numerele reale x pentru care 4ˣ∗2ˣ = 3.

Pentru a = −3: x∗y = x − 3y + 5, deci ecuația devine 4ˣ − 3·2ˣ + 5 = 3, adică 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0.
Notăm t = 2ˣ > 0: t² − 3t + 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t − 2) = 0, deci t = 1 sau t = 2.
2ˣ = 1 ⇔ x = 0; 2ˣ = 2 ⇔ x = 1.
Răspuns
x ∈ {0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 5445, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.

1. (5p) Arătați că det A = 9.

det A = 5445 = 5·5 − 4·4 = 25 − 16 = 9.
Răspuns
det A = 9
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că (A − I₂)(A − 9I₂) = O₂.

A − I₂ = 4444 și A − 9I₂ = −444−4.
(A − I₂)(A − 9I₂) = −16+1616−16−16+1616−16 = 0000 = O₂.
Răspuns
(A − I₂)(A − 9I₂) = O₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Se consideră matricea B = A − 5I₂. Demonstrați că suma elementelor matricei B·B este divizibilă cu 2⁵.

B = A − 5I₂ = 0440, deci B·B = 160016.
Suma elementelor este 16 + 0 + 0 + 16 = 32 = 2⁵, deci este divizibilă cu 2⁵.
Răspuns
suma este 32 = 2⁵
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(aA + I₂) = 0.

aA + I₂ = 5a+14a4a5a+1, deci det(aA + I₂) = (5a + 1)² − 16a² = 9a² + 10a + 1.
9a² + 10a + 1 = 0 ⇔ (a + 1)(9a + 1) = 0, deci a = −1 sau a = −19.
Răspuns
a ∈ {−1, −19}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A·M = M·A, unde M = x1y2.

A·M = 5x+4y134x+5y14 și M·A = 5x+44x+55y+84y+10.
Din egalitatea elementelor: 13 = 4x + 5, deci x = 2, și 14 = 4y + 10, deci y = 1.
Verificare: 5x + 4y = 14 = 5x + 4 și 4x + 5y = 13 = 5y + 8, deci x = 2, y = 1 convin.
Răspuns
x = 2, y = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Demonstrați că det(A + xI₂) + det(A − xI₂) ≥ 18, pentru orice număr real x.

A + xI₂ = 5+x445+x și A − xI₂ = 5−x445−x.
det(A + xI₂) + det(A − xI₂) = (5 + x)² − 16 + (5 − x)² − 16 = 50 + 2x² − 32 = 2x² + 18.
2x² ≥ 0, deci 2x² + 18 ≥ 18, pentru orice număr real x.
Răspuns
2x² + 18 ≥ 18
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri