Acasă / Subiecte rezolvate / 2020 / Rezolvare M1 mate-info

Rezolvare BAC 2020 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2020 (Proba E.c) — sesiunea specială 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul a = 3 + 2√2 + 13 + 2√2 este natural.
  • Amplificăm fracția cu conjugatul: 13 + 2√2 = 3 − 2√2(3 + 2√2)(3 − 2√2) = 3 − 2√29 − 8 = 3 − 2√2.
  • a = 3 + 2√2 + 3 − 2√2 = 6, care este număr natural.

  • Răspuns

    a = 6 ∈ N

  • Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 1. Arătați că (f∘f)(1) = f(2) + 2.
  • f(1) = 3, deci (f∘f)(1) = f(f(1)) = f(3) = 7.
  • f(2) = 5, deci f(2) + 2 = 7 = (f∘f)(1).

  • Răspuns

    ambii membri sunt 7

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x² = 3·3ˣ.
  • 9x² = 32x² și 3·3ˣ = 3x+1, deci 2x² = x + 1.
  • 2x² − x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(2x + 1) = 0, de unde x = −12 sau x = 1.

  • Răspuns

    x ∈ {−12, 1}

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul natural nenul n, știind că mulțimea A = {1, 2, 3, …, n} are exact 10 submulțimi cu două elemente.
  • Numărul submulțimilor cu două elemente ale lui A este C(n,2) = n(n − 1)2.
  • n(n − 1)2 = 10 ⇔ n² − n − 20 = 0 ⇔ (n − 5)(n + 4) = 0, iar cum n este natural, n = 5.

  • Răspuns

    n = 5

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,0), N(7,0) și A(a,3), unde a este număr real. Știind că AM = AN, arătați că segmentul AO are lungimea egală cu 5.
−11234567−1123xyOM(1, 0)N(7, 0)A(4, 3)
  • AM² = (a − 1)² + 9 și AN² = (a − 7)² + 9; din AM = AN: (a − 1)² = (a − 7)², adică −2a + 1 = −14a + 49, deci a = 4.
  • A(4,3), deci AO = √4² + 3² = √25 = 5.

  • Răspuns

    AO = 5

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră x ∈ (0, π2) pentru care 3cos x − 2 = 2cos 2x. Calculați cos x.
  • cos 2x = 2cos²x − 1, deci ecuația devine 3cos x − 2 = 4cos²x − 2, adică 4cos²x − 3cos x = 0.
  • cos x(4cos x − 3) = 0; cum x ∈ (0, π2), cos x > 0, deci cos x = 34.

  • Răspuns

    cos x = 34

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 12−aaa11a2a−5a−2 și sistemul de ecuații x + (2 − a)y + az = 1ax + y + z = 2 − aax + (2a − 5)y + (a − 2)z = −4, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 3.
  • A(0) = 1200110−5−2.
  • Dezvoltând după prima coloană: det(A(0)) = 1·11−5−2 = −2 + 5 = 3.

  • Răspuns

    det(A(0)) = 3

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(a)) = (a − 1)(a − 3)(3a + 1), pentru orice număr real a.
  • Dezvoltând după prima linie: det(A(a)) = 1·((a − 2) − (2a − 5)) − (2 − a)(a(a − 2) − a) + a(a(2a − 5) − a).
  • = (3 − a) + (a − 2)·a(a − 3) + a·2a(a − 3) = (a − 3)(−1 + a² − 2a + 2a²) = (a − 3)(3a² − 2a − 1).
  • 3a² − 2a − 1 = (a − 1)(3a + 1), deci det(A(a)) = (a − 1)(a − 3)(3a + 1), pentru orice număr real a.

  • Răspuns

    det(A(a)) = (a − 1)(a − 3)(3a + 1)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural a pentru care sistemul are soluție unică (x₀, y₀, z₀) și x₀, y₀, z₀ sunt numere naturale.
  • Sistemul are soluție unică ⇔ det(A(a)) ≠ 0; pentru a natural, asta înseamnă a ∈ N \ {1, 3}.
  • Din a doua ecuație, ax₀ + y₀ + z₀ = 2 − a, iar membrul stâng e natural, deci 2 − a ≥ 0: a ∈ {0, 2}.
  • Pentru a = 2, a doua ecuație devine 2x₀ + y₀ + z₀ = 0, deci x₀ = y₀ = z₀ = 0, dar atunci prima ecuație dă 0 = 1: nu convine.
  • Pentru a = 0: x + 2y = 1, y + z = 2, −5y − 2z = −4. Din z = 2 − y: −5y − 4 + 2y = −4, deci y = 0, z = 2, x = 1 — toate naturale, deci a = 0 convine.

  • Răspuns

    a = 0

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = log₂(2ˣ + 2ʸ).

a) (5p) Arătați că 0∗0 = 1.
  • 0∗0 = log₂(2⁰ + 2⁰) = log₂(1 + 1) = log₂2 = 1.

  • Răspuns

    0∗0 = 1

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∗” este comutativă.
  • x∗y = log₂(2ˣ + 2ʸ) = log₂(2ʸ + 2ˣ) = y∗x, pentru orice numere reale x și y, deci legea este comutativă.

  • Răspuns

    x∗y = y∗x

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care (x∗x)∗x = 3 + log₂3.
  • x∗x = log₂(2ˣ + 2ˣ) = log₂(2x+1) = x + 1.
  • (x∗x)∗x = (x + 1)∗x = log₂(2x+1 + 2ˣ) = log₂(3·2ˣ) = x + log₂3.
  • x + log₂3 = 3 + log₂3, deci x = 3.

  • Răspuns

    x = 3

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x⁴ − x² + 1.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−112340,850,90,9511,051,11,15xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(2x² − 1)√(x⁴ − x² + 1), x∈R.
  • (√u)' = u'2√u, cu u = x⁴ − x² + 1 și u' = 4x³ − 2x.
  • f'(x) = 4x³ − 2x2√(x⁴ − x² + 1) = 2x(2x² − 1)2√(x⁴ − x² + 1) = x(2x² − 1)√(x⁴ − x² + 1).

  • Răspuns

    f'(x) = x(2x² − 1)√(x⁴ − x² + 1)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.
  • f(1) = √1 = 1 și f'(1) = 1·11 = 1.
  • Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y − 1 = x − 1, deci y = x.

  • Răspuns

    y = x

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice m ∈ (√32, 1), ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale.
  • f'(x) = 0 ⇔ x = −√22, x = 0 sau x = √22. Semnul lui f' e semnul lui x(2x² − 1): f e strict descrescătoare pe (−∞, −√22] și pe [0, √22], strict crescătoare pe [−√22, 0] și pe [√22, +∞).
  • f(−√22) = f(√22) = √14 − 12 + 1 = √34 = √32, f(0) = 1, iar limx→−∞ f(x) = limx→+∞ f(x) = +∞.
  • Pentru m ∈ (√32, 1): √32 < m < 1, iar f e continuă și strict monotonă pe fiecare din cele patru intervale, trecând pe rând prin +∞ → √32 → 1 → √32 → +∞.
  • Deci ecuația f(x) = m are exact o soluție pe fiecare interval: exact patru soluții reale.

  • Răspuns

    exact patru soluții reale

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + 2x + 5.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−11234−0,6−0,4−0,20,20,4xy

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] x·(1f(x)) dx = 313.
  • x·(1f(x)) = x·(x² + 2x + 5)x = x² + 2x + 5.
  • ∫[1,2] (x² + 2x + 5) dx = [x³3 + x² + 5x] de la 1 la 2 = (83 + 4 + 10) − (13 + 1 + 5) = 73 + 8 = 313.

  • Răspuns

    313

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] g(x) dx = (12)·ln(85), unde g:R→R, g(x) = f(x) + 1x² + 2x + 5.
  • g(x) = x + 1x² + 2x + 5, iar numărătorul x + 1 este jumătate din derivata numitorului: (x² + 2x + 5)' = 2x + 2.
  • O primitivă a lui g este (12)·ln(x² + 2x + 5).
  • ∫[0,1] g(x) dx = (12)(ln8 − ln5) = (12)·ln(85).

  • Răspuns

    (12)·ln(85)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[−1,1] x2n−1·f(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = 0.
  • x2n−1·f(x) = x2nx² + 2x + 5, iar x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 ≥ 4 și x2n ≥ 0.
  • Deci 0 ≤ x2nx² + 2x + 5 ≤ x2n4, pentru orice x ∈ [−1, 1].
  • Integrând: 0 ≤ Iₙ ≤ ∫[−1,1] x2n4 dx = (14)·2/(2n + 1) = 12(2n + 1).
  • Cum limn→+∞ 12(2n + 1) = 0, din criteriul cleștelui obținem limn→+∞ Iₙ = 0.

  • Răspuns

    limn→+∞ Iₙ = 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →