Rezolvare BAC 2019 Matematică M1 mate-info, sesiunea I, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I, rezervă 2019 (Varianta de rezervă a sesiunii din vară 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = 1 și b₂ = 3.

Rația este q = b₂b₁ = 3, deci b₃ = b₂·q = 9.
b₁ + b₂ + b₃ = 1 + 3 + 9 = 13.
Răspuns
13
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² + mx + 7 = 0, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care 2x₁ + 2x₂ + 3x₁x₂ = 1.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = −m și x₁x₂ = 7.
2(x₁ + x₂) + 3x₁x₂ = −2m + 21 = 1, deci 2m = 20 și m = 10.
Răspuns
m = 10
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x − 2) + log₂(x + 2) = 5.

Condiții de existență: x − 2 > 0 și x + 2 > 0, adică x > 2.
log₂((x − 2)(x + 2)) = 5, deci (x − 2)(x + 2) = 2⁵ = 32, adică x² − 4 = 32 și x² = 36.
x = −6 nu convine (nu e mai mare decât 2), iar x = 6 convine.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2, 3, 4, 5}.

Prima cifră se poate alege în 5 moduri, a doua (diferită de prima) în 4 moduri, iar a treia în 3 moduri.
Numărul total: 5·4·3 = 60.
Răspuns
60 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,6) și B(6,2). Determinați coordonatele punctului M, știind că AM = MB (vectori).

Egalitatea vectorială AM = MB înseamnă că M este mijlocul segmentului AB.
x_M = 2 + 62 = 4 și y_M = 6 + 22 = 4.
Răspuns
M(4,4)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 3√3, AC = 4 și A = 2π3. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 9.

sin(2π3) = √32.
Aria = AB·AC·sin(A)2 = 3√3·4·(√3/2)2 = 12·3/22 = 182 = 9.
Răspuns
Aria = 9
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a111−a−111a și sistemul de ecuații ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 0.

A(0) = 01110−1110.
det(A(0)) = 01110−1110 = 0 + 1 + (−1) − 0 − 0 − 0 = 0.
Răspuns
det(A(0)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(a)) = a(1 − a)(1 + a), pentru orice număr real a.

Cu regula lui Sarrus: det(A(a)) = a111−a−111a = −a³ − 1 + 1 + a + a − a = −a³ + a.
−a³ + a = a(1 − a²) = a(1 − a)(1 + a), pentru orice număr real a.
Răspuns
det(A(a)) = a(1 − a)(1 + a)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 0, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma (x₀, y₀, z₀) cu x₀, y₀ și z₀ numere întregi.

Pentru a = 0 sistemul devine y+z=1x−z=1x+y=2, cu determinantul 0.
Notăm z = α: din a doua ecuație x = 1 + α, din prima y = 1 − α; a treia ecuație: (1 + α) + (1 − α) = 2, adevărat.
Sistemul e compatibil nedeterminat, cu soluțiile (1 + α, 1 − α, α), α ∈ R.
Pentru orice α număr întreg, x₀ = 1 + α, y₀ = 1 − α și z₀ = α sunt întregi, deci există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns
soluțiile (1 + α, 1 − α, α), cu α ∈ Z
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = (x − 2019)(y − 2019) + 2019.

a) (5p) Arătați că x∗2019 = 2019, pentru orice număr real x.

x∗2019 = (x − 2019)(2019 − 2019) + 2019 = (x − 2019)·0 + 2019 = 2019, pentru orice număr real x.
Răspuns
x∗2019 = 2019
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x, știind că (x∗x)∗x = x.

x∗x = (x − 2019)² + 2019, deci (x∗x)∗x = (x − 2019)²·(x − 2019) + 2019 = (x − 2019)³ + 2019.
(x − 2019)³ + 2019 = x ⇔ (x − 2019)³ − (x − 2019) = 0 ⇔ (x − 2019)((x − 2019)² − 1) = 0.
x − 2019 ∈ {0, −1, 1}, deci x = 2019, x = 2018 sau x = 2020.
Răspuns
x ∈ {2018, 2019, 2020}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile de numere întregi m și n pentru care m∗n = 2020.

(m − 2019)(n − 2019) + 2019 = 2020 ⇔ (m − 2019)(n − 2019) = 1.
m − 2019 și n − 2019 sunt întregi cu produsul 1, deci ambele sunt 1 sau ambele sunt −1.
Obținem m = n = 2020 sau m = n = 2018.
Răspuns
(m, n) ∈ {(2018, 2018), (2020, 2020)}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = √x − ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = √x − 22x, x∈(0,+∞).

f'(x) = 12√x − 1x.
Cum 12√x = √x2x, avem f'(x) = √x2x − 22x = √x − 22x.
Răspuns
f'(x) = √x − 22x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f, în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 1 − 0 = 1 și f'(1) = 1 − 22 = −12.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y − 1 = −(12)(x − 1), deci y = −(12)x + 32.
Răspuns
y = −(12)x + 32
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că √x − ln(x4) ≥ 2, pentru orice x∈(0,+∞).

f'(x) = 0 ⇔ √x = 2 ⇔ x = 4.
Pentru x ∈ (0, 4] avem √x ≤ 2, deci f'(x) ≤ 0 și f e descrescătoare; pentru x ∈ [4, +∞) avem f'(x) ≥ 0 și f e crescătoare.
Minimul lui f este f(4) = 2 − ln4, deci √x − ln x ≥ 2 − ln4 pentru orice x > 0.
Adică √x − (ln x − ln4) ≥ 2, deci √x − ln(x4) ≥ 2.
Răspuns
√x − ln(x4) ≥ 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²x² + 9.