Rezolvare BAC 2022 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2022 (Proba E.c) — mai 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 5(1 + 2i) − 2i(5 − i) = 3, unde i² = −1.

5(1 + 2i) − 2i(5 − i) = 5 + 10i − 10i + 2i² = 5 + 2i².
5 + 2·(−1) = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 1 + a².

a² − 2a − 3 = 1 + a², deci −2a = 4.
a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(2x² + 1) = 2.

2x² + 1 = 3² = 9, deci x² = 4.
x = −2 sau x = 2, care convin (2x² + 1 = 9 > 0).
Răspuns
x = −2 sau x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor: una din 1, 3, 5, 7, 9 (5 moduri); cifra unităților: una din cele 4 impare rămase. În total 20 de cazuri favorabile.
p = 2090 = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 0), B(1, 6) și C(4, 2). Determinați coordonatele punctului D, știind că AB = DC (vectori).

AB = DC înseamnă că ABCD e paralelogram, deci diagonalele AC și BD au același mijloc.
Mijlocul lui AC este (3, 1), deci D = 2·(3, 1) − B, adică D(5, −4).
Răspuns
D(5, −4)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât BC = 10 și sin B = 2sin C. Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 2√5.

sin B = ACBC și sin C = ABBC, deci AC = 2AB.
Din teorema lui Pitagora: AB² + 4AB² = 100, deci AB² = 20 și AB = 2√5.
Răspuns
AB = 2√5
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001, O₃ = 000000000 și A(x) = x+1−x0x1−x0001, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 2−10100001.
Dezvoltând după ultima linie: det(A(1)) = 1·(2·0 − (−1)·1) = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că (A(x) − I₃)(A(x) − I₃) = O₃, pentru orice număr real x.

A(x) − I₃ = x−x0x−x0000.
(A(x) − I₃)(A(x) − I₃) = x²−x²−x²+x²0x²−x²−x²+x²0000 = O₃.
Răspuns
(A(x) − I₃)² = O₃
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x) = xA(x) − (x − 1)I₃.

Din b): A(x)·A(x) = 2A(x) − I₃.
Ecuația devine 2A(x) − I₃ = xA(x) − (x − 1)I₃ ⇔ (2 − x)(A(x) − I₃) = O₃.
A(x) − I₃ = O₃ doar pentru x = 0; altfel trebuie 2 − x = 0. Deci x = 0 sau x = 2.
Răspuns
x = 0 sau x = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (x + y)² − 2(x − y) − 3.

a) (5p) Arătați că 0 ∗ 2 = 5.

0 ∗ 2 = (0 + 2)² − 2(0 − 2) − 3 = 4 + 4 − 3 = 5.
Răspuns
0 ∗ 2 = 5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (x + 1) = 8.

x ∗ (x + 1) = (2x + 1)² − 2·(−1) − 3 = 4x² + 4x.
4x² + 4x = 8 ⇔ x² + x − 2 = 0, deci x = −2 sau x = 1.
Răspuns
x = −2 sau x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ n = 2mn.

(m + n)² − 2(m − n) − 3 = 2mn ⇔ m² + n² − 2m + 2n − 3 = 0 ⇔ (m − 1)² + (n + 1)² = 5.
n + 1 ≥ 1, deci (n + 1)² e 1 sau 4: n = 0 cu (m − 1)² = 4, adică m = 3; n = 1 cu (m − 1)² = 1, adică m = 0 sau m = 2.
Perechile: (0, 1), (2, 1) și (3, 0).
Răspuns
(0, 1), (2, 1), (3, 0)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = (x² − 5x + 10)√x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 5(x² − 3x + 2)2√x, x∈(0, +∞).

f'(x) = (2x − 5)√x + (x² − 5x + 10)·1/(2√x).
Cu numitorul 2√x: 2x(2x − 5) + x² − 5x + 102√x = 5x² − 15x + 102√x = 5(x² − 3x + 2)2√x.
Răspuns
f'(x) = 5(x² − 3x + 2)2√x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), deci f'(x) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 2.
f e crescătoare pe (0, 1], descrescătoare pe [1, 2] și crescătoare pe [2, +∞).
Răspuns
crescătoare pe (0, 1] și [2, +∞), descrescătoare pe [1, 2]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că limx→+∞ (f(x)x²√x)^x/5 = 1e.

f(x)x²√x = x² − 5x + 10x² = 1 + −5x + 10x², deci limita e de forma „1 la puterea ∞”.
Limita este e la puterea limx→+∞ (−5x + 10x²)·(x5) = limx→+∞ −5x + 105x = −1.
Deci limita este e⁻¹ = 1e.
Răspuns
1e
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + eˣ + 1eˣ + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că ∫[0,2] (f(x) − 1eˣ + 1) dx = e² + 1.

f(x) − 1eˣ + 1 = x + eˣ.
∫[0,2] (x + eˣ) dx = [x²2 + eˣ] de la 0 la 2 = 2 + e² − 1 = e² + 1.
Răspuns
e² + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că ∫[−1,1] eˣ(f(x) − x − eˣ) dx = 1.

eˣ(f(x) − x − eˣ) = eˣeˣ + 1 = (eˣ + 1)'/(eˣ + 1).
Integrala: [ln(eˣ + 1)] de la −1 la 1 = ln(e + 1) − ln(1 + ee) = ln e = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care ∫[0,1] x(f(x) + f(−x)) dx = m2 − 2e.

1eˣ + 1 + 1e⁻ˣ + 1 = 1eˣ + 1 + eˣ1 + eˣ = 1, deci f(x) + f(−x) = eˣ + e⁻ˣ + 1.
∫[0,1] x(eˣ + e⁻ˣ + 1) dx = [(x − 1)eˣ − (x + 1)e⁻ˣ + x²2] de la 0 la 1.
= (0 − 2e + 12) − (−1 − 1) = 52 − 2e, deci m = 5.
Răspuns
m = 5
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Rezolvare BAC 2022 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 5(1 + 2i) − 2i(5 − i) = 3, unde i² = −1.

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 1 + a².

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(2x² + 1) = 2.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 0), B(1, 6) și C(4, 2). Determinați coordonatele punctului D, știind că AB = DC (vectori).

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât BC = 10 și sin B = 2sin C. Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 2√5.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

b) (5p) Arătați că (A(x) − I₃)(A(x) − I₃) = O₃, pentru orice număr real x.

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x) = xA(x) − (x − 1)I₃.

a) (5p) Arătați că 0 ∗ 2 = 5.

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (x + 1) = 8.

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ n = 2mn.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(x) = 5(x² − 3x + 2)2√x, x∈(0, +∞).

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

c) (5p) Arătați că limx→+∞ (f(x)x²√x)^x/5 = 1e.

a) (5p) Arătați că ∫[0,2] (f(x) − 1eˣ + 1) dx = e² + 1.

b) (5p) Arătați că ∫[−1,1] eˣ(f(x) − x − eˣ) dx = 1.

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care ∫[0,1] x(f(x) + f(−x)) dx = m2 − 2e.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M1 mate-info

Rezolvare BAC 2022 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 5(1 + 2i) − 2i(5 − i) = 3, unde i² = −1.

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 1 + a².

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(2x² + 1) = 2.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 0), B(1, 6) și C(4, 2). Determinați coordonatele punctului D, știind că AB = DC (vectori).

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât BC = 10 și sin B = 2sin C. Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 2√5.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

b) (5p) Arătați că (A(x) − I₃)(A(x) − I₃) = O₃, pentru orice număr real x.

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x) = xA(x) − (x − 1)I₃.

a) (5p) Arătați că 0 ∗ 2 = 5.

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (x + 1) = 8.

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ n = 2mn.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(x) = 5(x² − 3x + 2)2√x, x∈(0, +∞).

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

c) (5p) Arătați că limx→+∞ (f(x)x²√x)x/5 = 1e.

a) (5p) Arătați că ∫[0,2] (f(x) − 1eˣ + 1) dx = e² + 1.

b) (5p) Arătați că ∫[−1,1] eˣ(f(x) − x − eˣ) dx = 1.

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care ∫[0,1] x(f(x) + f(−x)) dx = m2 − 2e.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M1 mate-info

c) (5p) Arătați că limx→+∞ (f(x)x²√x)^x/5 = 1e.