Rezolvare BAC 2024 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2024 (Proba E.c) — 22.05.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 2 și a₂ = 12.

a₂ e media aritmetică a vecinilor: 12 = 2 + a₃2.
a₃ = 22.
Răspuns
a₃ = 22
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 8. Determinați numărul real m pentru care f(1 + m) = 1 − m.

f(1 + m) = m − 7.
m − 7 = 1 − m, deci 2m = 8 și m = 4.
Răspuns
m = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg(x² − 3x + 5) = lg5.

x² − 3x + 5 = 5, adică x² − 3x = 0, deci x = 0 sau x = 3.
În ambele cazuri x² − 3x + 5 = 5 > 0, deci soluțiile convin.
Răspuns
x = 0 sau x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul √n + 1 să fie natural.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
n + 1 e pătrat perfect între 11 și 100: 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, deci n∈{15, 24, 35, 48, 63, 80, 99}: 7 cazuri favorabile.
p = 790.
Răspuns
p = 790
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(3, 0) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că dreptele OA și BC sunt paralele.

Panta lui OA: 21 = 2; panta lui BC: a5 − 3 = a2.
Paralele ⇔ pante egale: a2 = 2, deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 9 și B = π3. Arătați că AB = 3√3.

tg B = ACAB, deci √3 = 9AB.
AB = 9√3 = 3√3.
Răspuns
AB = 3√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 1xx00x−1x11, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 3.

A(2) = 122001211.
det(A(2)) = 0 + 0 + 4 − 0 − 1 − 0 = 3.
Răspuns
det(A(2)) = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(x)·A(1) = 2A(x).

A(1) = 111000111, deci A(x)·A(1) = 1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1.
2A(x) = 22x2x002x−22x22.
Din poziția (1,1): 1 + x = 2, deci x = 1, care verifică toate egalitățile.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, dacă matricea A(x) este inversabilă, atunci și matricea A(−x) este inversabilă.

Dezvoltând: det(A(x)) = x²(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x² − 1) = (x − 1)²(x + 1).
A(x) inversabilă ⇔ det(A(x)) ≠ 0 ⇔ x∈R∖{−1, 1}.
Atunci și −x∈R∖{−1, 1}, deci det(A(−x)) ≠ 0 și A(−x) e inversabilă.
Răspuns
det(A(x)) = (x − 1)²(x + 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∘ y = xy + 2x + 2y − 14.

a) (5p) Arătați că 1 ∘ 1 = 74.

1 ∘ 1 = 1 + 2 + 2 − 14 = 1 + 34 = 74.
Răspuns
1 ∘ 1 = 74
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 12 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x ∘ (12) = x2 + 2x + 1 − 14 = x2 + x2 = x, pentru orice x real.
(12) ∘ x = x2 + 1 + 2x − 14 = x, pentru orice x real, deci e = 12 e elementul neutru.
Răspuns
e = 12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care (12 − x) ∘ (12 + x) ∘ (12 + x²) = 12 − x².

x ∘ y = (x + 12)(y + 12) − 12, deci (12 − x) ∘ (12 + x) = (1 − x)(1 + x) − 12 = 12 − x².
(12 − x²) ∘ (12 + x²) = (1 − x²)(1 + x²) − 12 = 12 − x⁴.
12 − x⁴ = 12 − x² ⇔ x²(x² − 1) = 0, deci x∈{−1, 0, 1}.
Răspuns
x∈{−1, 0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = 4x³(x − 1)².

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4x²(x − 3)(x − 1)³, x∈(1, +∞).

f'(x) = 12x²(x − 1)² − 4x³·2(x − 1)(x − 1)⁴ = 12x²(x − 1) − 8x³(x − 1)³.
12x³ − 12x² − 8x³ = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3).
Răspuns
f'(x) = 4x²(x − 3)(x − 1)³
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ 4x²(x − 1)² = 4.
f(x) − 4x = 4x³ − 4x(x − 1)²(x − 1)² = 8x² − 4x(x − 1)², cu limita 8.
Asimptota oblică spre +∞ este y = 4x + 8.
Răspuns
y = 4x + 8
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că ecuația f(x) = m are exact două soluții, pentru orice m∈(27, +∞).

f'(x) = 0 ⇔ x = 3; f e strict descrescătoare pe (1, 3) și strict crescătoare pe (3, +∞).
limx→1 f(x) = +∞, f(3) = 1084 = 27 și limx→+∞ f(x) = +∞.
f e continuă, deci pentru orice m > 27 ecuația are exact o soluție pe (1, 3) și exact una pe (3, +∞): exact două soluții.
Răspuns
Exact două soluții pentru m > 27
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x + 1 + x·ln x.